Se W é um sólido não homogêneo com densidade em cada ponto dada por w=f(x, y, z), a massa de W é definida por:
MW=integral triplaW f(x, y, z) d x d y d z
As coordenadas do centro de massa do sólido W são definidas por:
barx=integral triplaW x f(x, y, z) d x d y d zMW, bary=integral triplaW y f(x, y, z) d x d y d zMW
e barz=integral triplaW z f(x, y, z) d x d y d zMW
Calcule a massa de W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2 <= 9,0 <= z <= 9-x^2-y^2 se a densidade é f(x, y, z)=z

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido
W = (x,y,z)mid x^2+y^2<=9,;0<= z<=9 - x^2 - y^2
com densidade f(x,y,z)=z. A massa é
MW = integral triplaW z ,dx,dy,dz
Como o domínio no plano xy é o disco de raio 3 e z varia de 0 a 9-x^2-y^2, vamos primeiro integrar em z.

Passo 2

Integramos em z:
integral0^9 - x^2 - y^2 z ,dz = l[tfrac12z^2r]0^9 - x^2 - y^2 = tfrac12l(9 - x^2 - y^2r)^2
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MW = 12 integral duplax^2+y^2<=9 l(9 - x^2 - y^2r)^2 ,dx,dy

Passo 3

Passamos a coordenadas polares (x=rcostheta,;y=rsintheta), com rin[0,3] e thetain[0,2pi]. Então dx,dy = r,dr,dtheta e
MW = 12 integral0^2pi integral0^3 l(9 - r^2r)^2 ,r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos o integral em r. Com u=9-r^2, du=-2r,dr, obtemos
integral0^3 (9 - r^2)^2,r,dr = 12 integral0^9 u^2,du = 12,9^33 = 2432
Então
MW = 12 integral0^2pi 2432 ,dtheta = 2434 integral0^2pidtheta

Passo 5

Integrando em theta e simplificando:
MW = 2434cdot2pi = 243pi2

Resposta

MW = 243pi2

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