Calcule a integral de linha, onde gamma é a curva dada.
integralgamma y x d s, gamma: x=t^2, y=2 t, t in[0,1],

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralgamma y,x,ds
onde a curva gamma vem da parametrização
x(t)=t^2, y(t)=2t, tin[0,1]
Este é um caso de integral de linha com elemento de comprimento de arco ds. Para resolver, vamos usar a teoria de integrais de linha do tipo
integralgamma f(x,y),ds =integrala^bfl(x(t),y(t)r),raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas da parametrização e o fator ds:
x'(t)=2t, y'(t)=2,
dsdt =raizl(2tr)^2+l(2r)^2 =raiz4t^2+4 =2raizt^2+1

Passo 3

Substituímos x(t), y(t) e ds na integral:
integralgamma y,x,ds =integral0^1l(2tr)l(t^2r),l(2raizt^2+1r);dt =4integral0^1t^3raizt^2+1;dt

Passo 4

Para calcular
I=integral0^1t^3raizt^2+1;dt
fazemos a substituição u=t^2+1, logo du=2t,dt ou t,dt=tfracdu2. Observando que t^3,dt=t^2,t,dt=(u-1),tfracdu2, temos
I =integralu(0)=1^u(1)=2(u-1),raizu,du2 =12integral1^2l(u^3/2-u^1/2r);du

Passo 5

Calculamos a integral em u:
integrall(u^3/2-u^1/2r);du =25u^5/2-23u^3/2
Então
I =12l[25u^5/2-23u^3/2r]1^2 =l[15u^5/2-13u^3/2r]1^2
Em u=2 tfrac15cdot2^5/2-tfrac13cdot2^3/2=tfrac815raiz2, e em u=1 tfrac15-tfrac13=-tfrac215. Assim
I=815raiz2-l(-tfrac215r) =815l(raiz2+1r)
Por fim, voltando à integral original 4I, obtemos
integralgamma y,x,ds =4I =4cdot815l(raiz2+1r) =3215l(raiz2+1r)

Resposta

integralgamma y,x,ds =3215l(raiz2+1r)

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