Calcule o comprimento da curva x=1+5 t^2 e y=4-3 t^2, 0 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
x=1+5t^2, y=4-3t^2, 0<= t<=2
O conteúdo é cálculo de comprimento de curva no plano usando a fórmula
L=integrala^braizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x(t) e y(t):
x'(t)=ddt(1+5t^2)=10t,
y'(t)=ddt(4-3t^2)=-6t

Passo 3

Formamos o integrando da fórmula do comprimento:
raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =raiz(10t)^2+(-6t)^2 =raiz100t^2+36t^2 =raiz136,t^2 = raiz136,t =2raiz34,t,
pois em 0<= t<=2 temos t>=0.

Passo 4

Agora integramos de t=0 até t=2:
L =integral0^22raiz34,t;dt =2raiz34,integral0^2t;dt =2raiz34,gl[t^22gr]0^2 =2raiz34,cdot42 =4raiz34

Resposta

O comprimento da curva é 4raiz34.

Exercícios relacionados