Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
*Pode usar o Desmos para graficar os Campos de direções online no link aqui
y^prime(x)=y

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa o campo de direções e plote algumas curvas integrais para a equação
dydx = y
O que precisamos: saber que é uma equação diferencial de primeira ordem e separável, interpretar como campo de direções (slope field) e depois obter a solução geral.

Passo 2

Para desenhar o campo de direções note que em cada ponto (x,y) do plano a inclinação do segmento é
m = dydx = y
Isto significa:
– Se y=0, o segmento é horizontal.
– Se y>0, o segmento sobe, ficando mais “íngreme” quanto maior for y.
– Se y<0, o segmento desce, ficando mais íngreme em valor absoluto quanto menor (mais negativo) for y.
Num software (por ex. Desmos) você define o campo como slope = y e ele gera esses pequenos traços orientados.

Passo 3

Agora encontramos a solução geral. Como é separável, escrevemos
dydx = y Longrightarrow 1y,dy = dx
Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 1,dx Longrightarrow lnl|yr| = x + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

Elevando expoentes para isolar y, obtemos
l|yr| = e^,x + C1 = e^C1,e^x
Chamando C = pm e^C1 (percorre todos os reais exceto zero), a solução geral fica
y(x) = C,e^x,
com CinR.

Passo 5

Para sobrepor algumas curvas integrais no campo de direções, basta escolher valores de C. Por exemplo:
y1(x) = e^x, y2(x) = 2e^x, y3(x) = -e^x, y4(x) = 0cdot e^x = 0
No Desmos você plota essas funções junto com o campo de direções. Verá que cada curva segue exatamente os segmentos indicados pelo campo.

Resposta

y(x) = C,e^x, CinR

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