Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
tem uma solução.
.
Passo 1
O enunciado pede para aplicarmos o Teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) ao valor inicial
com
Para garantir solução local, precisamos que
seja contínua numa vizinhança de
e que seja localmente Lipschitz em
(por exemplo, que
seja contínua).
Passo 2
Verificamos a continuidade de
. O único ponto em que o denominador pode anular é quando
isto é, em
. Fora desse ponto,
é uma fração de funções polinomiais sem zeros no denominador, logo:
Logo, para qualquer
tal que
, existe um retângulo centrado em
onde
é contínua, garantindo existência de solução local.
Passo 3
Agora checamos unicidade. Basta mostrar que
é contínua quando
. Calculamos
Como esse quociente também só falha em
, concluímos que
é contínua em
, o que garante condição de Lipschitz em
e, portanto, unicidade local.
Resposta
Os pontos
em que podemos garantir existência e unicidade da solução são todos aqueles tais que
isto é, qualquer ponto inicial diferente de
.