Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0
tem uma solução.
f(x, y)=y^2x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos o Teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) ao valor inicial
y'(x)=f(x,y(x)), y(x0)=y0,
com
f(x,y)=y^2x^2+y^2
Para garantir solução local, precisamos que f seja contínua numa vizinhança de (x0,y0) e que seja localmente Lipschitz em y (por exemplo, que partial f/partial y seja contínua).

Passo 2

Verificamos a continuidade de f. O único ponto em que o denominador pode anular é quando
x^2+y^2=0
isto é, em (x,y)=(0,0). Fora desse ponto, f é uma fração de funções polinomiais sem zeros no denominador, logo:
f é contínua em (x,y)mid x^2+y^2neq0 éí
Logo, para qualquer (x0,y0) tal que x0^2+y0^2neq0, existe um retângulo centrado em (x0,y0) onde f é contínua, garantindo existência de solução local.

Passo 3

Agora checamos unicidade. Basta mostrar que
partial f/partial y é contínua quando x^2+y^2neq0. Calculamos
partial fpartial y(x,y) =2y,(x^2+y^2)-y^2,2y(x^2+y^2)^2 =2y,x^2(x^2+y^2)^2
Como esse quociente também só falha em (0,0), concluímos que partial f/partial y é contínua em (x,y)mid x^2+y^2neq0, o que garante condição de Lipschitz em y e, portanto, unicidade local.

Resposta

Os pontos l(x0,y0r) em que podemos garantir existência e unicidade da solução são todos aqueles tais que
x0^2+y0^2neq0,
isto é, qualquer ponto inicial diferente de (0,0).

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