Seja x=e^t e y=t e^t. Encontre d y / d x e d^2 y / d x^2. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x = e^t, y = t,e^t,
e pede a derivada primeira dfracdydx, a derivada segunda dfracd^2ydx^2 e os valores de t em que a curva é côncava para cima. Vamos usar as fórmulas de derivação para curvas paramétricas:
dydx = tfracdydttfracdxdt, d^2ydx^2 = tfracddt!l(tfracdydxr)tfracdxdt

Passo 2

Calculemos primeiro tfracdxdt e tfracdydt.
Derivando x=e^t em relação a t,
dxdt = e^t
Derivando y = t,e^t em relação a t, usando o produto tcdot e^t,
dydt = 1cdot e^t + tcdot e^t = e^t + t,e^t = e^t(1+t)
Portanto,
dydx = tfracdydttfracdxdt = e^t(1+t)e^t = 1 + t

Passo 3

Agora achamos a derivada segunda:
d^2ydx^2 = tfracddtl(1+tr)tfracdxdt = 1e^t = e^-t

Passo 4

A concavidade para cima ocorre quando
d^2ydx^2 > 0
Como dfracd^2ydx^2 = e^-t e sabemos que e^-t>0 para todo tinR, concluímos que a curva é côncava para cima para todos os valores de t.

Resposta

dydx=1+t, d^2ydx^2=e^-t,
a curva é côncava para cima para todo tinR.

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