Seja
e
. Encontre
e
. Para quais valores de
a curva é côncava para cima?
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede a derivada primeira
, a derivada segunda
e os valores de
em que a curva é côncava para cima. Vamos usar as fórmulas de derivação para curvas paramétricas:
Passo 2
Calculemos primeiro
e
.
Derivando em relação a
,
Derivando
Derivando
em relação a
, usando o produto
,
Portanto,
Passo 3
Agora achamos a derivada segunda:
Passo 4
A concavidade para cima ocorre quando
Como
e sabemos que
para todo
, concluímos que a curva é côncava para cima para todos os valores de
.
Resposta
a curva é côncava para cima para todo