Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
y y^prime prime+(y^prime)^2=0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y,y'' + l(y'r)^2 = 0
usando uma substituição que reduza a ordem. Vamos usar o fato de que podemos definir
p = y',
transformando a equação numa de primeira ordem entre p e y.

Passo 2

Como p = y', temos
y'' = dpdx = dpdy,dydx = p,dpdy
Substituindo em ,y,y'' + (y')^2 = 0 obtemos
y;l(p,dpdyr) + p^2 = 0

Passo 3

Agrupando termos e dividindo por p (caso p=0 dá solução constante, que veremos depois), vem
y,dpdy + p = 0 Longrightarrow dpdy = -py

Passo 4

Separe variáveis e integre:
dpp = -dyy Longrightarrow lnlvert prvert = -lnlvert yrvert + C1 Longrightarrow p = C1y,
onde C1 é constante de integração.

Passo 5

Volte a y':
y' = C1y,
ou seja
dydx = C1y Longrightarrow y,dy = C1,dx Longrightarrow 12y^2 = C1x + C2,
com C2 outra constante de integração.

Resposta

A solução geral é
y^2 = 2,C1,x + 2,C2,
ou, renomeando A=2C1 e B=2C2,
y^2 = A,x + B,
que inclui o caso y=constante (obtido quando A=0).

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