Calcule o comprimento da curva x=13 raizy(y-3), 0 <= y <= 9.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada em função de y por
x(y)=13raizy,(y-3), 0<= y<=9
O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica em que a variável é y. A fórmula geral é
L=integraly=a^y=braiz1+l(dxdyr)^2;dy

Passo 2

Vamos derivar x(y). Primeiro reescrevendo
x(y)=13y^3/2-y^1/2
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dxdy =13cdot32y^1/2 -12y^-1/2 =12l(y^1/2-y^-1/2r)

Passo 3

Calculamos
l(dxdyr)^2 =14l(y-2+ y^-1r) Longrightarrow 1+l(dxdyr)^2 =1+14(y-2+y^-1) =14l(y+1/y+2r)
Observamos que
y+1y+2=l(raizy+1raizyr)^2,
portanto
raiz1+l(dx/dyr)^2 =12l(raizy+1raizyr)

Passo 4

O comprimento fica
L =integral0^912l(raizy+1raizyr),dy =12l[ integral0^9y^1/2dy+integral0^9y^-1/2dy r]
Calculando cada integral:
integral y^1/2dy=23y^3/2, integral y^-1/2dy=2y^1/2
De 0 a 9 isso dá
23cdot9^3/2+2cdot9^1/2 =23cdot27+2cdot3 =18+6=24,
e multiplicando por tfrac12 vem L=12.

Resposta

O comprimento da curva é 12.

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