O Teorema do valor médio para curvas planares afirma que, se gamma:[0,1] R^2 é uma curva contínua e diferenciável em ] 0,1[, então para algum xi in] 0,1[, vale que
gamma^prime(xi)=gamma(1)-gamma(0)
Mostre (dê um contra-exemplo) que esse resultado é falso para curvas no espaço tridimensional.

Passo 1

O enunciado lembra o Teorema do Valor Médio para curvas em R^2, que diz: se gamma:[0,1]toR^2 é contínua em [0,1] e diferenciável em ]0,1[, então existe xiin]0,1[ tal que
gamma'(xi)=gamma(1)-gamma(0)
Precisamos mostrar que esse resultado falha em R^3 dando uma curva contínua e diferenciável que não satisfaz nenhuma vez gamma'(t)=gamma(1)-gamma(0).

Passo 2

A ideia clássica é escolher uma hélice em R^3. Ela “sobe” no eixo z mas gira indefinidamente no plano xy, de modo que a diferença de extremos fica apenas no eixo z, enquanto a derivada tem sempre uma componente de rotação não nula.

Passo 3

Definimos
gamma(t)=l(cos(2pi t),;sin(2pi t),;tr), tin[0,1]
Então
gamma(0)=(1,0,0), gamma(1)=(1,0,1),
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gamma(1)-gamma(0)=(0,0,1)

Passo 4

Calculamos a derivada:
gamma'(t)=l(-2pisin(2pi t),;2picos(2pi t),;1r)
Para que gamma'(t)=(0,0,1) seria preciso
-2pisin(2pi t)=0, 2picos(2pi t)=0, 1=1
Mas sin(2pi t) e cos(2pi t) não podem ser simultaneamente zero para nenhum t. Portanto não existe tin[0,1] com gamma'(t)=(0,0,1).

Resposta

O contra-exemplo é a hélice
gamma(t)=(cos(2pi t),,sin(2pi t),,t),
para a qual gamma(1)-gamma(0)=(0,0,1) mas nunca existe t tal que gamma'(t)=(0,0,1).

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