O Teorema do valor médio para curvas planares afirma que, se
é uma curva contínua e diferenciável em
, então para algum
, vale que
Mostre (dê um contra-exemplo) que esse resultado é falso para curvas no espaço tridimensional.
Passo 1
O enunciado lembra o Teorema do Valor Médio para curvas em
, que diz: se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Precisamos mostrar que esse resultado falha em
dando uma curva contínua e diferenciável que não satisfaz nenhuma vez
.
Passo 2
A ideia clássica é escolher uma hélice em
. Ela “sobe” no eixo
mas gira indefinidamente no plano
, de modo que a diferença de extremos fica apenas no eixo
, enquanto a derivada tem sempre uma componente de rotação não nula.
Passo 3
Definimos
Então
logo
Passo 4
Calculamos a derivada:
Para que
seria preciso
Mas
e
não podem ser simultaneamente zero para nenhum
. Portanto não existe
com
.
Resposta
O contra-exemplo é a hélice
para a qual
mas nunca existe
tal que
.