As curvas gamma(t)=(t, t,-2 t) e mu(t)=(5-t, 1,6+t) estão contidas na interseç̧ão dos planos
cc pi1: x+y+z=0 pi2: a x+b y+c z=0
Determine a, b e c.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas em R^3:
gamma(t) = (t,;t,;-2t), mu(t) = (5-t,;1,;6+t),
e diz que ambas estão contidas na interseção de dois planos
pi1:;x+y+z=0, pi2:;a x + b y + c z=0
Precisamos achar (a,b,c) de modo que todos os pontos de gamma e de mu satisfaçam pi2 também.

Passo 2

Impondo que gamma(t) satisfaça pi2 para todo t, substituímos em a x + b y + c z=0:
a,t + b,t + c,(-2t)=0 forall t Longrightarrow (a + b - 2c),t=0 forall t
Logo
a + b - 2c = 0

Passo 3

Impondo que mu(t) satisfaça pi2 para todo t, temos
a,(5-t) + b,(1) + c,(6+t) = 0 forall t
Reagrupando em termos de t:
(5a + b + 6c) ;+; t,(-a + c) ;=; 0 forall t
Isto dá duas equações:
-a + c = 0, 5a + b + 6c = 0

Passo 4

Agora resolvemos o sistema linear em
Da segunda equação vem obtemos . Então fica , ou seja , logo . Assim

Resposta

O único vetor (a,b,c) que satisfaz as condições é o trivial
(a,b,c) = (0,0,0),
isto é, não existe plano não-degenerado pi2 diferente de 0=0 que contenha ambas as curvas.

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