Seja f(x, y)=(x^2+y^2) log (x^2+y^2),(x, y) neq(0,0). Determine, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=l(x^2+y^2r),logl(x^2+y^2r),
para (x,y)neq(0,0), e pede o valor de
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para simplificar a expressão.

Passo 2

Em coordenadas polares, escrevemos
x=rcostheta, y=rsintheta, r>=0,;0<=theta<2pi,
de modo que
x^2+y^2=r^2
Substituindo em f, obtemos
f(r,theta)=r^2,logl(r^2r)

Passo 3

Repare que
r^2,logl(r^2r) =2,r^2,log(r)
Como log(r)to-infty e r^2to0 quando rto0^+, usamos o fato conhecido de que
limrto0^+r^alphalog(r)=0 para todo (alpha>0)
Aqui alpha=2, logo
limrto0^+2,r^2,log(r)=0

Passo 4

Visto que a expressão final depende só de r e não de theta, o limite em qualquer direção é o mesmo, isto é,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

0

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