Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
z=ln (2 x+3 y)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função z = ln(2x + 3y) e precisamos calcular suas derivadas parciais de segunda ordem. Ou seja, vamos encontrar as derivadas em relação a x e y , duas vezes cada. Para isso, vamos usar regras de derivação e entender como funcionam as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de z em relação a x , que chamamos de zx . Para derivar ln(u) , onde u é uma função de x , usamos a regra da cadeia:
zx = ddx ln(2x + 3y) = 12x + 3y cdot ddx(2x + 3y) = 22x + 3y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a x , ou seja, zxx . Derivamos zx novamente em relação a x :
zxx = ddx ( 22x + 3y ) = -2 cdot 2 (2x + 3y)^2 = -4 (2x + 3y)^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de z em relação a y , chamada de zy :
zy = ddy ln(2x + 3y) = 12x + 3y cdot ddy(2x + 3y) = 32x + 3y

Passo 5

Em seguida, encontramos a segunda derivada parcial em relação a y , ou seja, zyy :
zyy = ddy ( 32x + 3y ) = -3 cdot 3 (2x + 3y)^2 = -9 (2x + 3y)^2

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar as derivadas cruzadas zxy e zyx . Vamos derivar zx em relação a y :
zxy = ddy ( 22x + 3y ) = -2 cdot 3 (2x + 3y)^2 = -6 (2x + 3y)^2
E derivar zy em relação a x :
zyx = ddx ( 32x + 3y ) = -3 cdot 2 (2x + 3y)^2 = -6 (2x + 3y)^2

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função z = ln(2x + 3y) são:
zxx = -4 (2x + 3y)^2 , zyy = -9 (2x + 3y)^2 , zxy = zyx = -6 (2x + 3y)^2

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