Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função
e precisamos calcular suas derivadas parciais de segunda ordem. Ou seja, vamos encontrar as derivadas em relação a
e
, duas vezes cada. Para isso, vamos usar regras de derivação e entender como funcionam as derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Para derivar
, onde
é uma função de
, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Derivamos
novamente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, chamada de
:
Passo 5
Em seguida, encontramos a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar as derivadas cruzadas
e
. Vamos derivar
em relação a
:
E derivar
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: