Calcule o comprimento da curva y=23 raiz(x-1)^3, 1 <= x <= 4.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
y = 23raiz(x-1)^3 = 23(x-1)^tfrac32,
no intervalo 1<= x<=4.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do comprimento de arco de y=f(x):
L = integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2;dx

Passo 2

Precisamos de y'. Aplicando a regra da potência em
y = 23(x-1)^tfrac32,
temos
y' = 23cdot 32(x-1)^tfrac12 = (x-1)^tfrac12

Passo 3

Substituímos na fórmula de comprimento:
1 + (y')^2 = 1 + l((x-1)^tfrac12r)^2 = 1 + (x-1) = x,
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raiz1+(y')^2 = raizx
Assim
L = integral1^4raizx;dx = integral1^4x^tfrac12;dx

Passo 4

Aplicamos a regra de potência na integral:
integral x^tfrac12;dx = 23,x^tfrac32
Portanto
L = [23,x^tfrac32]1^4

Passo 5

Calculamos nos limites:
4^tfrac32 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8, 1^tfrac32 = 1,
então
L = 23l(8 - 1r) = 23cdot7 = 143

Resposta

143

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