Usando os conceitos de integrais impróprias verifique se as integrais convergem.
integral1^infty x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral1^infty xl(x^2+1r)^2,dx
Conteúdo: integrais impróprias e técnica de substituição.

Passo 2

Tratamos a integral como limite:
integral1^infty x(x^2+1)^2,dx = limttoinftyintegral1^tx(x^2+1)^2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição u = x^2+1, de onde du = 2x,dx e x,dx = tfracdu2.
Quando x=1, u=2; quando x=t, u=t^2+1.
Logo:
integral1^tx(x^2+1)^2,dx = 12integral2^,t^2+1u^-2,du

Passo 4

Integramos:
12integral u^-2,du = 12l(-u^-1r) = -12u
Avaliar de u=2 até u=t^2+1 e depois ttoinfty:
-12(t^2+1) - l(-12cdot2r) = 0 + 14 = 14

Passo 5

Como o limite existe e é finito, a integral converge e vale tfrac14.

Resposta

A integral converge e seu valor é tfrac14.

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