Calcule as seguintes integrais:
integral-1^1 d xx^2+2 x+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-1^1 dxx^2 + 2x + 5
O conteúdo é integração de função racional cuja antiderivada envolve arco-tangente. Vamos usar completamento de quadrado no denominador e a fórmula
integral duu^2+a^2 = 1aarctan!l(tfracuar)+C

Passo 2

Fazendo completamento de quadrado em x^2+2x+5, temos
x^2+2x+5 = (x+1)^2+4

Passo 3

Para usar a forma padrão, fazemos a substituição
u = x+1,
logo du=dx. Quando x=-1, u=0; quando x=1, u=2. A integral passa a ser
integralu=0^u=2 duu^2+4

Passo 4

Reconhecemos que u^2+4 = u^2+2^2. Aplicando
integral duu^2+2^2 = 12arctan!l(tfracu2r)+C,
obtemos a antiderivada.

Passo 5

Agora avaliamos nos limites de 0 a 2:
integral0^2duu^2+4 = 12arctan!l(tfracu2r)|0^2 = 12l(arctan(1)-arctan(0)r) = 12cdotpi4 = pi8

Resposta

integral-1^1 dxx^2 + 2x + 5 = pi8

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