Usando os conceitos de integrais impróprias verifique se as integrais convergem.
integral1^infty 3x^2+2 d x

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente usar conceitos de integrais impróprias para verificar se a integral integral1^infty 3x^2+2 , dx converge ou diverge. Integrais impróprias são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou a função tem descontinuidades no intervalo. Aqui, temos um limite superior infinito, então vamos analisar se a área sob a curva da função 3x^2+2 de 1 até o infinito é finita (converge) ou infinita (diverge).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos trabalhar com ela mais facilmente. Como o limite superior é infinito, reescrevemos a integral como um limite:
integral1^infty 3x^2+2 , dx = limb to infty integral1^b 3x^2+2 , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função 3x^2+2. Lembra que a integral de 1x^2+a^2 é conhecida e igual a 1a tan^-1(xa) + C, onde C é a constante de integração. Aqui, a^2 = 2, então a = raiz2.

Passo 4

Aplicando a fórmula, temos:
integral 3x^2+2 , dx = 3 cdot 1raiz2 tan^-1(xraiz2) + C = 3raiz2 tan^-1(xraiz2) + C

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa antiderivada no intervalo de 1 até b e depois calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty [ 3raiz2 tan^-1(braiz2) - 3raiz2 tan^-1(1raiz2) ]

Passo 6

Sabemos que tan^-1(x) tende a pi2 quando x tende ao infinito. Então:
limb to infty tan^-1(braiz2) = pi2
Substituindo isso na expressão:
3raiz2 cdot pi2 - 3raiz2 tan^-1(1raiz2)

Passo 7

Simplificando, obtemos:
3pi2raiz2 - 3raiz2 tan^-1(1raiz2)
Esse é o valor finito da integral, o que significa que a integral converge.

Resposta

A integral integral1^infty 3x^2+2 , dx converge e seu valor é 3pi2raiz2 - 3raiz2 tan^-1(1raiz2).

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