Usando os conceitos de integrais impróprias verifique se as integrais convergem.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para a gente usar conceitos de integrais impróprias para verificar se a integral
converge ou diverge. Integrais impróprias são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou a função tem descontinuidades no intervalo. Aqui, temos um limite superior infinito, então vamos analisar se a área sob a curva da função
de 1 até o infinito é finita (converge) ou infinita (diverge).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos trabalhar com ela mais facilmente. Como o limite superior é infinito, reescrevemos a integral como um limite:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a antiderivada da função
. Lembra que a integral de
é conhecida e igual a
, onde
é a constante de integração. Aqui,
, então
.
Passo 4
Aplicando a fórmula, temos:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa antiderivada no intervalo de 1 até
e depois calcular o limite quando
tende ao infinito:
Passo 6
Sabemos que
tende a
quando
tende ao infinito. Então:
Substituindo isso na expressão:
Passo 7
Simplificando, obtemos:
Esse é o valor finito da integral, o que significa que a integral converge.
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.