Calcule o comprimento da curva y=23(x-1)^3 / 2 de x=1 a x=3.

Passo 1

Vamos calcular o comprimento da curva y = 23(x-1)^3/2 no intervalo de x = 1 a x = 3 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x . Isso nos dará a inclinação da curva em cada ponto. A função é:
y = 23(x-1)^3/2
Derivando em relação a x :
dydx = 23 cdot 32(x-1)^1/2 = (x-1)^1/2

Passo 3

Agora, calculamos o quadrado da derivada:
(dydx)^2 = ( (x-1)^1/2 )^2 = x - 1

Passo 4

A fórmula do comprimento do arco é:
L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2 , dx
Substituindo os valores que encontramos:
L = integral1^3 raiz1 + (x - 1) , dx = integral1^3 raizx , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = 23x^3/2 + C
Avaliando de 1 a 3:
L = [ 23x^3/2 ]1^3 = 23(3)^3/2 - 23(1)^3/2
Simplificando:
L = 23 cdot 3raiz3 - 23 = 2raiz3 - 23

Resposta

O comprimento da curva é 2raiz3 - 23 unidades.

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