Determine a área da superfície z=23(x^3 / 2+y^3 / 2), 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície
z=23l(x^3/2+y^3/2r)
sobre o quadrado 0<= x<=1, 0<= y<=1.
O conteúdo é cálculo de área de superfície de gráfico z=f(x,y). Vamos usar a fórmula
S=integral duplaRraiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2,dx,dy

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de
f(x,y)=23l(x^3/2+y^3/2r)
Derivando em x:
fx(x,y)=23cdot32,x^1/2=x^1/2
Análogo em y:
fy(x,y)=y^1/2

Passo 3

Substituindo na fórmula da área, o integrando fica
raiz1 + (x^1/2)^2 + (y^1/2)^2 =raiz1 + x + y
Logo
S=integral0^1!!integral0^1raiz1 + x + y;dx,dy

Passo 4

Para integrar em x com y fixo, fazemos a troca
u=1+y+x Longrightarrow du=dx,
quando x=0 tem u=1+y e quando x=1 tem u=2+y. Assim
integral0^1raiz1+y+x,dx =integral1+y^2+yu^1/2,du =[23u^3/2]u=1+y^u=2+y =23l((2+y)^3/2-(1+y)^3/2r)

Passo 5

Portanto
S =integral0^123l((2+y)^3/2-(1+y)^3/2r),dy =23integral0^1(2+y)^3/2dy -23integral0^1(1+y)^3/2dy
Cada termo é um caso de integral (a+y)^3/2dy=25(a+y)^5/2. Então
integral0^1(2+y)^3/2dy =[25(2+y)^5/2]0^1 =25l(3^5/2-2^5/2r),
integral0^1(1+y)^3/2dy =[25(1+y)^5/2]0^1 =25l(2^5/2-1^5/2r)

Passo 6

Juntando tudo:
S =23cdot25l(3^5/2-2^5/2r) -23cdot25l(2^5/2-1r) =415l(3^5/2-2cdot2^5/2+1r)
Como 3^5/2=9raiz3 e 2^5/2=4raiz2, obtemos
S =415l(9raiz3-2cdot4raiz2+1r) =36raiz3-32raiz2+415

Resposta

S=36raiz3-32raiz2+415

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