Calcule as seguintes integrais:
integralpi / 2^pi cos x cdot sen^3 x d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral definida integralpi / 2^pi cos x cdot sin^3 x , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente no assunto de integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que são produtos de funções trigonométricas, usando uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte sin^3 x. Podemos reescrever isso como sin^2 x cdot sin x. Sabemos que sin^2 x pode ser transformado usando a identidade trigonométrica sin^2 x = 1 - cos^2 x. Então, temos:
sin^3 x = sin x cdot sin^2 x = sin x cdot (1 - cos^2 x)

Passo 3

Agora, vamos substituir isso na integral original:
integralpi / 2^pi cos x cdot sin^3 x , dx = integralpi / 2^pi cos x cdot sin x cdot (1 - cos^2 x) , dx

Passo 4

Observamos que temos cos x cdot sin x multiplicando outra expressão. Isso sugere usar uma substituição, onde vamos deixar u = cos x. Assim, a derivada de u em relação a x é dudx = -sin x, ou seja, du = -sin x , dx.

Passo 5

Vamos ajustar a integral para usar essa substituição:
integral cos x cdot sin x cdot (1 - cos^2 x) , dx = -integral u cdot (1 - u^2) , du
Aqui, trocamos cos x por u e sin x , dx por -du.

Passo 6

Agora, vamos simplificar a integral em termos de u:
-integral u cdot (1 - u^2) , du = -integral (u - u^3) , du = -( u^22 - u^44 ) + C

Passo 7

Substituindo u = cos x de volta na expressão:
-( cos^2 x2 - cos^4 x4 ) + C = -cos^2 x2 + cos^4 x4 + C

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de pi/2 a pi:
[ -cos^2 x2 + cos^4 x4 ]pi/2^pi
Vamos calcular isso para x = pi e x = pi/2.

Passo 9

Calculando para x = pi:
cos pi = -1 Rightarrow -(-1)^22 + (-1)^44 = -12 + 14 = -14
Calculando para x = pi/2:
cos pi2 = 0 Rightarrow -0^22 + 0^44 = 0

Resposta

A integral vale -14.

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