Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a integral definida
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente no assunto de integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que são produtos de funções trigonométricas, usando uma técnica chamada substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte
. Podemos reescrever isso como
. Sabemos que
pode ser transformado usando a identidade trigonométrica
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir isso na integral original:
Passo 4
Observamos que temos
multiplicando outra expressão. Isso sugere usar uma substituição, onde vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos ajustar a integral para usar essa substituição:
Aqui, trocamos
por
e
por
.
Passo 6
Agora, vamos simplificar a integral em termos de
:
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Vamos calcular isso para
e
.
Passo 9
Calculando para
:
Calculando para
:
Resposta
A integral vale
.