Calcule o comprimento da curva
entre
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por
no intervalo de
até
. Isso entra na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente no cálculo do comprimento de curvas. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de curva e precisar da derivada da função
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre
e
:
Essa integral vai nos dar o comprimento total da curva nesse intervalo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Vamos lá:
Então, a derivada
é
.
Passo 4
Vamos substituir a derivada que encontramos na fórmula do comprimento da curva:
Agora, nossa integral está pronta para ser resolvida.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos uma técnica de integração conhecida como substituição. A antiderivada de
é
. Portanto:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos calcular os valores numéricos aproximados usando
e
:
Calculando os logaritmos:
Então:
Arredondando:
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente 2,47 unidades.