Calcule o comprimento da curva y=ln (x) entre x=1 e x=(8)^wed>= 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento da curva definida por y = ln(x) no intervalo de x = 1 até x = raiz8 . Isso entra na matéria de Cálculo Integral, mais especificamente no cálculo do comprimento de curvas. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de curva e precisar da derivada da função y em relação a x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva y = f(x) entre x = a e x = b :
L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx
Essa integral vai nos dar o comprimento total da curva nesse intervalo.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de y = ln(x) em relação a x . Vamos lá:
dydx = ddx ln(x) = 1x
Então, a derivada dydx é 1x .

Passo 4

Vamos substituir a derivada que encontramos na fórmula do comprimento da curva:
L = integral1^raiz8 raiz1 + ( 1x )^2 , dx = integral1^raiz8 raiz1 + 1x^2 , dx
Agora, nossa integral está pronta para ser resolvida.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração:
raiz1 + 1x^2 = raizx^2 + 1x^2 = raizx^2 + 1x
Então, a integral fica:
L = integral1^raiz8 raizx^2 + 1x , dx

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos uma técnica de integração conhecida como substituição. A antiderivada de raizx^2 + 1x é raizx^2 + 1 + ln(x + raizx^2 + 1) . Portanto:
L = [ raizx^2 + 1 + ln(x + raizx^2 + 1) ]1^raiz8

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de x = 1 e x = raiz8 :
L = ( raiz(raiz8)^2 + 1 + ln(raiz8 + raiz(raiz8)^2 + 1) ) - ( raiz1^2 + 1 + ln(1 + raiz1^2 + 1) )
Simplificando:
L = ( raiz8 + 1 + ln(raiz8 + 3) ) - ( raiz2 + ln(1 + raiz2) )
L = ( 3 + ln(2raiz2 + 3) ) - ( raiz2 + ln(1 + raiz2) )

Passo 8

Vamos calcular os valores numéricos aproximados usando raiz2 approx 1,4142 e raiz8 = 2raiz2 approx 2,8284 :
L approx ( 3 + ln(2,8284 + 3) ) - ( 1,4142 + ln(1 + 1,4142) )
L approx ( 3 + ln(5,8284) ) - ( 1,4142 + ln(2,4142) )
Calculando os logaritmos:
ln(5,8284) approx 1,765 e ln(2,4142) approx 0,8814
Então:
L approx (3 + 1,765) - (1,4142 + 0,8814) = 4,765 - 2,2956 = 2,4694
Arredondando:
L approx 2,47, unidades

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 2,47 unidades.

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