Questão 6. Use a Identidade de Parseval para verificar as somas das séries numéricas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para usar a identidade de Parseval na série de Fourier da função
para verificar a soma da série numérica
O conteúdo principal é a expansão em série de Fourier de
, o cálculo dos coeficientes
e a aplicação da identidade de Parseval
Passo 2
Calculamos os coeficientes da série de Fourier em cossenos, sabendo que
é par e de período
.
- O termo constante é
- Para
ímpar fica . Para ,
Usando
e integrando, vem
logo
Passo 3
Aplicamos Parseval a
. Primeiro,
Pela fórmula de Parseval,
Logo
Passo 4
Expressamos
em função da série que interessa. Usando
temos
Portanto
Juntando com o resultado do Passo 3,
Multiplicando por
resulta