Questão 6. Use a Identidade de Parseval para verificar as somas das séries numéricas a seguir:
f(x)=|sen(x)|,-pi<x<pi, 11^2 3^2+13^2 5^2+15^2 7^2+ldots=pi^216-12

Passo 1

O enunciado pede para usar a identidade de Parseval na série de Fourier da função
f(x)=lvertsin xrvert, -pi<x<pi
para verificar a soma da série numérica
sumk=1^infty11^23^2+13^25^2+15^27^2+cdots =pi^216-12
O conteúdo principal é a expansão em série de Fourier de f, o cálculo dos coeficientes an e a aplicação da identidade de Parseval
1piintegral-pi^pif(x)^2,dx =a0^22+sumn=1^inftyan^2

Passo 2

Calculamos os coeficientes da série de Fourier em cossenos, sabendo que f é par e de período 2pi.
  1. O termo constante é
a0 =1piintegral-pi^pilvertsin xrvert,dx =2piintegral0^pisin x,dx =2picdot 2 =4pi
  1. Para n ímpar fica an=0. Para n=2k,
a2k =1piintegral-pi^pilvertsin xrvertcos(2k x),dx =2piintegral0^pisin xcos(2k x),dx
Usando sin xcos(2k x)=tfrac12[sin((2k+1)x)-sin((2k-1)x)] e integrando, vem
integral0^pisin xcos(2k x),dx =12l[22k+1-22k-1r] =12k+1-12k-1,
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a2k =2pil(12k+1-12k-1r)

Passo 3

Aplicamos Parseval a f. Primeiro,
1piintegral-pi^pif(x)^2,dx =1piintegral-pi^pisin^2x,dx =2piintegral0^pisin^2x,dx =2picdotpi2=1
Pela fórmula de Parseval,
1 =a0^22+sumn=1^inftyan^2 =(4/pi)^22+sumk=1^inftya2k^2 =8pi^2+sumk=1^inftya2k^2
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sumk=1^inftya2k^2 =1-8pi^2

Passo 4

Expressamos sum a2k^2 em função da série que interessa. Usando
a2k =2pil(12k+1-12k-1r),
temos
a2k^2 =4pi^2l(12k+1-12k-1r)^2 =4pi^2;4(2k-1)^2(2k+1)^2 =16pi^2;1(2k-1)^2(2k+1)^2
Portanto
sumk=1^inftya2k^2 =16pi^2 sumk=1^infty1(2k-1)^2(2k+1)^2 ,
Juntando com o resultado do Passo 3,
16pi^2 sumk=1^infty1(2k-1)^2(2k+1)^2 =1-8pi^2
Multiplicando por pi^2/16 resulta
sumk=1^infty1(2k-1)^2(2k+1)^2 =pi^2-816 =pi^216-12

Resposta

sumk=1^infty11^23^2 +13^25^2 +15^27^2 +cdots =pi^216-12

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