Encontre a série de Fourier complexa das seguintes funções:
f(x)=x^2,-pi<x<pi

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos a série de Fourier complexa de f(x)=x^2 em -pi<x<pi. O conteúdo é a expansão
f(x)=sumn=-infty^inftycn e^i n x
e precisamos calcular os coeficientes
cn=12piintegral-pi^pix^2 e^-i n x,dx

Passo 2

A definição da série complexa é
x^2=sumn=-infty^inftycn e^i n x,
com
cn=12piintegral-pi^pix^2 e^-i n x,dx

Passo 3

Para n=0,
c0=12piintegral-pi^pix^2,dx =12picdot 2integral0^pix^2,dx =1picdotpi^33 =pi^23

Passo 4

Para nneq0, note que x^2 é par e e^-i n x=cos(nx)-isin(nx). A parte ímpar (seno) integra a zero, então
integral-pi^pix^2 e^-i n x,dx =2integral0^pix^2cos(nx),dx

Passo 5

Calculemos
In=integral0^pix^2cos(nx),dx
por partes: tome u=x^2, dv=cos(nx),dx implies v=tfracsin(nx)n, du=2x,dx. Então
In =l[x^2sin(nx)nr]0^pi -2nintegral0^pixsin(nx),dx
Como sin(npi)=0, o primeiro termo some. No segundo integral faça outra parte: u=x, dv=sin(nx),dx implies v=-tfraccos(nx)n. Assim
integral0^pixsin(nx),dx =-pi(-1)^nn,
e
In =-2nl(-pi(-1)^nnr) =2pi(-1)^nn^2
Portanto
integral-pi^pix^2 e^-i n x,dx =2In =4pi(-1)^nn^2

Passo 6

Logo, para nneq0,
cn =12picdot4pi(-1)^nn^2 =2(-1)^nn^2

Resposta

x^2=sumn=-infty^infty cn e^i n x, cn= dfracpi^23, & n=0, [6pt] dfrac2(-1)^nn^2, & nneq0 ]

Exercícios relacionados