Enuncie as Proposições 2 e 3 a partir do inteiro 1 e prove por indução as seguintes fórmulas:
a)
inteiro.
b)
inteiro.
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver aquele exercício sobre somas de termos usando indução matemática. A questão pede para provar que a soma de certos termos segue uma fórmula específica para todo número inteiro $ n \geq 1 $. Para isso, vamos precisar entender indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números inteiros positivos.
Passo 2
Vamos começar pelo caso base, que no nosso caso é quando $ n = 1 $. Isso significa que vamos verificar se a fórmula funciona para o primeiro número da sequência.
A fórmula que queremos provar é:
Para $ n = 1 $:
Viu? A igualdade sustenta, então o caso base está ok.
Passo 3
Agora, vamos para a hipótese de indução. Isso significa que vamos assumir que a fórmula funciona para algum número inteiro $ k \geq 1 $. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é a base para provar que a fórmula também vale para $ k + 1 $.
Passo 4
O próximo passo é provar que, se a fórmula é verdadeira para $ k $, ela também funciona para $ k + 1 $. Queremos mostrar que:
Vamos lá!
Passo 5
Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Então, ao adicionar $ (k + 1) $ aos dois lados dessa igualdade, temos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o lado direito:
E aí está! A expressão ficou exatamente como queremos para $ k + 1 $.
Resposta
Assim, seguindo os passos da indução matemática, mostramos que a fórmula:
é verdadeira para todo número inteiro $ n \geq 1 $.