Enuncie as Proposições 2 e 3 a partir do inteiro 1 e prove por indução as seguintes fórmulas:
a) 1+2+ldots+n=n(n+1)2 forall n >= 1 inteiro.
b) 1+4+ldots+n^2=n(n+1) (2 n+1)6 forall n >= 1 inteiro.
c) 1+8+ldots+n^3=[n(n+1)2]^2
d) 1+3+ldots+(2 n-1)=n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver aquele exercício sobre somas de termos usando indução matemática. A questão pede para provar que a soma de certos termos segue uma fórmula específica para todo número inteiro $ n \geq 1 $. Para isso, vamos precisar entender indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números inteiros positivos.

Passo 2

Vamos começar pelo caso base, que no nosso caso é quando $ n = 1 $. Isso significa que vamos verificar se a fórmula funciona para o primeiro número da sequência.
A fórmula que queremos provar é:
n = 1
Para $ n = 1 $:
1 + 2 + ldots + n = n(n+1)2
Viu? A igualdade sustenta, então o caso base está ok.

Passo 3

Agora, vamos para a hipótese de indução. Isso significa que vamos assumir que a fórmula funciona para algum número inteiro $ k \geq 1 $. Ou seja, vamos supor que:
k >= 1
Essa suposição é a base para provar que a fórmula também vale para $ k + 1 $.

Passo 4

O próximo passo é provar que, se a fórmula é verdadeira para $ k $, ela também funciona para $ k + 1 $. Queremos mostrar que:
k
Vamos lá!

Passo 5

Usando a hipótese de indução, sabemos que:
1 + 2 + ldots + k = k(k+1)2
Então, ao adicionar $ (k + 1) $ aos dois lados dessa igualdade, temos:
(k + 1)

Passo 6

Agora, vamos simplificar o lado direito:
k(k+1)2 + (k + 1) = k(k+1) + 2(k + 1)2 = (k + 1)(k + 2)2
E aí está! A expressão ficou exatamente como queremos para $ k + 1 $.

Resposta

Assim, seguindo os passos da indução matemática, mostramos que a fórmula:
1 + 2 + ldots + n = n(n+1)2
é verdadeira para todo número inteiro $ n \geq 1 $.

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