Reparametrize pelo comprimento de arco a curva alpha dada por:
alpha(t)=(2 cos (t), 2 sen(t)), t >= 0.

Passo 1

Estamos tratando de reparametrizar por comprimento de arco a curva alpha(t) = (2cos t, 2sin t), com t>=0. O conteúdo principal é usar a definição de comprimento de arco de uma curva no plano e obter um novo parâmetro s tal que s mede exatamente a distância percorrida desde t=0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de alpha. Temos
alpha'(t)=(-2sin t,;2cos t)
Isso é o vetor velocidade da curva em função de t.

Passo 3

Agora calculamos a velocidade (norma de alpha'(t)):
|alpha'(t)|=raiz(-2sin t)^2 + (2cos t)^2=raiz4(sin^2 t+cos^2 t)=2

Passo 4

Pela definição, o comprimento de arco desde 0 até t é
s(t)=integral0^t |alpha'(u)|,du=integral0^t 2,du = 2t

Passo 5

Invertendo a relação, obtemos
t=s2

Passo 6

Finalmente, substituímos t=s/2 em alpha(t) para ter o parâmetro de comprimento de arco:
beta(s)=l(2cos(tfracs2),,2sin(tfracs2)r), s>=0

Resposta

beta(s)=l(2cos(tfracs2),,2sin(tfracs2)r), s>=0.

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