Calcule o comprimento da curva:
C: { x = 2t, y = 4 sen(2t), z = 4 cos(2t), t em [0, 2 pi] }

Passo 1

Vamos calcular o comprimento da curva C definida por:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de curvas parametrizadas. Precisamos das derivadas das funções , x(t) e y(t) em relação a z(t).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de cada componente em relação a t:
Aqui, usamos as derivadas básicas e a regra da cadeia para derivar as funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula do comprimento da curva parametrizada:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Observe que , então:

Passo 5

Agora, a integral fica:
Integrando:

Resposta

O comprimento da curva C é unidades.

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