Calcule o comprimento da curva:
f(x) = x^2, onde x na [0, 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento da curva da função no intervalo de de 0 a 2. Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de curva em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar da fórmula que determina o comprimento de uma curva definida por uma função no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva no intervalo . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função .

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Primeiro, precisamos achar a derivada de :

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do comprimento da curva:

Passo 5

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que ela se assemelha à forma da função hiperbólica. A integral de em relação a é:
Onde é a função arco seno hiperbólico.

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Calculando em :
E em :

Resposta

Portanto, o comprimento da curva no intervalo de 0 a 2 é:

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