Calcule o comprimento da curva:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento da curva da função
no intervalo de
de 0 a 2. Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de curva em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar da fórmula que determina o comprimento de uma curva definida por uma função no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
no intervalo
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função
.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula à nossa função
. Primeiro, precisamos achar a derivada de
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento da curva:
Passo 5
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que ela se assemelha à forma da função hiperbólica. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a função arco seno hiperbólico.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Calculando em
:
E em
:
Resposta
Portanto, o comprimento da curva
no intervalo de 0 a 2 é: