Seja R a região (limitada) delimitada pelos gráficos das funções y = x + 5 e y = x^2 + 2x - 1 e pelo eixo y.
Expresse a área de R em termos de uma integral;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções: e , além do eixo y (que é onde ). A gente precisa encontrar a área da região que está limitada por essas curvas. Para isso, vamos usar integrais, que são ferramentas matemáticas para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas funções se cruzam, ou seja, encontrar os pontos onde é igual a . Esses pontos de interseção vão nos dar os limites de integração para a nossa integral.

Passo 3

Vamos igualar as duas funções:
Isso vai nos ajudar a encontrar os valores de onde as duas curvas se encontram.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de .

Passo 5

Para resolver a equação quadrática , vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .

Passo 6

Calculando o discriminante:
Como , temos duas soluções reais:
Então:

Passo 7

Agora sabemos que as duas curvas se cruzam nos pontos e . Além disso, estamos limitando a região pelo eixo y ( ). Então, a região está no intervalo de a , mas também considerando o eixo y.

Passo 8

Para calcular a área entre as duas curvas, precisamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de integração. Isso nos dirá qual função subtrair da outra na integral.

Passo 9

Vamos verificar um ponto no intervalo, por exemplo, :
Aqui, está acima de .

Passo 10

De maneira geral, no intervalo de a , a função linear está acima da função quadrática .

Passo 11

Agora, podemos expressar a área da região usando uma integral que calcula a diferença entre as duas funções no intervalo de a :

Resposta

A área de é dada pela integral:

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