Seja
a região (limitada) delimitada pelos gráficos das funções
e
e pelo eixo y.
Expresse a área de R em termos de uma integral;
Expresse a área de R em termos de uma integral;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
e
, além do eixo y (que é onde
). A gente precisa encontrar a área da região
que está limitada por essas curvas. Para isso, vamos usar integrais, que são ferramentas matemáticas para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas funções se cruzam, ou seja, encontrar os pontos onde
é igual a
. Esses pontos de interseção vão nos dar os limites de integração para a nossa integral.
Passo 3
Vamos igualar as duas funções:
Isso vai nos ajudar a encontrar os valores de
onde as duas curvas se encontram.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 5
Para resolver a equação quadrática
, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 6
Calculando o discriminante:
Como
, temos duas soluções reais:
Então:
Passo 7
Agora sabemos que as duas curvas se cruzam nos pontos
e
. Além disso, estamos limitando a região pelo eixo y (
). Então, a região
está no intervalo de
a
, mas também considerando o eixo y.
Passo 8
Para calcular a área entre as duas curvas, precisamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de integração. Isso nos dirá qual função subtrair da outra na integral.
Passo 9
Vamos verificar um ponto no intervalo, por exemplo,
:
Aqui,
está acima de
.
Passo 10
De maneira geral, no intervalo de
a
, a função linear
está acima da função quadrática
.
Passo 11
Agora, podemos expressar a área
da região
usando uma integral que calcula a diferença entre as duas funções no intervalo de
a
:
Resposta
A área de
é dada pela integral: