Calcule o comprimento da curva:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento da curva definida por
, onde
varia de
a
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva parametrizada, que envolve derivar a função vetorial e integrar o seu módulo no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
. Vamos derivar componente por componente:
Passo 3
Agora, calculamos o módulo da derivada
. O módulo de um vetor
é dado por
. Aplicando isso:
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 4
O comprimento da curva é a integral do módulo da derivada de
de
a
:
Essa integral pode não ter uma antiderivada elementar, então geralmente calculamos numericamente.
Passo 5
Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, avaliamos a integral:
(Nota: O valor exato depende da precisão do método numérico utilizado.)
Resposta
O comprimento da curva
no intervalo de
a
é aproximadamente 6,28 unidades.