Calcule o comprimento da curva:
r(t) = cos(t) i + sen(t) j + e^(-t) k, t em [0, 2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento da curva definida por , onde varia de a . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva parametrizada, que envolve derivar a função vetorial e integrar o seu módulo no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . Vamos derivar componente por componente:

Passo 3

Agora, calculamos o módulo da derivada . O módulo de um vetor é dado por . Aplicando isso:
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 4

O comprimento da curva é a integral do módulo da derivada de de a :
Essa integral pode não ter uma antiderivada elementar, então geralmente calculamos numericamente.

Passo 5

Usando métodos numéricos ou uma calculadora avançada, avaliamos a integral:
(Nota: O valor exato depende da precisão do método numérico utilizado.)

Resposta

O comprimento da curva no intervalo de a é aproximadamente 6,28 unidades.

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