Calcule o comprimento da curva
parametrizada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
que está parametrizada por
no intervalo de
de
até
. Nosso objetivo aqui é calcular o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva parametrizada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para medir a “distância” ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se a curva é dada por
no intervalo
, o comprimento
da curva é dado por:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva, integrando de
até
.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
da nossa parametrização:
Precisamos calcular as derivadas
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula do comprimento da curva:
Sabemos da identidade trigonométrica que
. Então, simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
:
Aplicando os limites de integração de
a
:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Resposta
O comprimento da curva
é
unidades.