Calcule o comprimento da curva C5 parametrizada por varphi(t) = (t, ln(cos(t))) ; t in [0, pi/3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva que está parametrizada por no intervalo de de até . Nosso objetivo aqui é calcular o comprimento dessa curva. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de uma curva parametrizada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para medir a “distância” ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se a curva é dada por no intervalo , o comprimento da curva é dado por:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva, integrando de até .

Passo 3

Agora, vamos identificar e da nossa parametrização:
Precisamos calcular as derivadas e .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula do comprimento da curva:
Sabemos da identidade trigonométrica que . Então, simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de :
Aplicando os limites de integração de a :
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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