Verifique a convergência das seguintes integrais:
integral0^infty x^-xraizx^2+x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral
integral0^infty x^-xraizx^2+x+1 , dx
é convergente ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente os testes de convergência para integrais impróprias. Vamos precisar analisar o comportamento da função no intervalo de integração, especialmente nos pontos onde ela pode “dar problema”, que nesse caso são próximos de 0 e de +∞.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser convergente. Uma integral imprópria é convergente se ela tem um valor finito, ou seja, se conseguimos somar todas as “áreas” sob a curva e o resultado não é infinito. Caso contrário, ela é divergente.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função em dois pontos chave: quando se aproxima de 0 e quando vai para .

Comportamento próximo de 0:

  • A função pode ser escrita como . Quando se aproxima de 0, tende a , mas como está multiplicado por , que tende a 0, o expoente tende a 0. Portanto, .
  • O denominador quando é próximo de 0, fica aproximadamente .
  • Então, perto de 0, a função se comporta como .

Comportamento para tendendo a :

  • Novamente, . Quando cresce, também cresce, então o expoente vai para , o que faz tender a 0 rapidamente.
  • O denominador para grande, é aproximadamente .
  • Então, para grande, a função se comporta como .

Passo 4

Com base nessas observações, vamos aplicar o Teste da Comparação para verificar a convergência da integral.

Para integral0^1 1 , dx = 1 próximo de 0:

Sabemos que a função se comporta como 1. Então, podemos comparar com a integral:
integral1^infty 1x , dx = infty
Essa integral é finita, o que sugere que a nossa função original não tem problemas de convergência perto de 0.

Para x^-xraizx^2+x+1 <= 1x^2 tendendo a integral1^infty 1x^2 , dx = 1 :

A função se comporta como , já que tende a 0 muito mais rápido que . Sabemos que:
No entanto, como nossa função original é menor do que para grande, mas diverge, precisamos encontrar uma função maior que nossa função original que converja.
Considerando que decresce mais rápido que qualquer potência de , podemos afirmar que:
E sabemos que:
Esse resultado é finito, o que indica que nossa integral original também converge para o intervalo de a .

Passo 5

Como vimos, a integral:
integral0^infty x^-xraizx^2+x+1 , dx
não apresenta problemas de convergência nem perto de 0 nem para tendendo a . Aplicando o Teste da Comparação, concluímos que a integral é convergente.

Resposta

A integral é convergente.

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