Verifique a convergência das seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral
é convergente ou não. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente os testes de convergência para integrais impróprias. Vamos precisar analisar o comportamento da função no intervalo de integração, especialmente nos pontos onde ela pode “dar problema”, que nesse caso são próximos de 0 e de +∞.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral ser convergente. Uma integral imprópria é convergente se ela tem um valor finito, ou seja, se conseguimos somar todas as “áreas” sob a curva e o resultado não é infinito. Caso contrário, ela é divergente.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função
em dois pontos chave: quando
se aproxima de 0 e quando
vai para
.
Comportamento próximo de 0:
-
A função
pode ser escrita como . Quando se aproxima de 0, tende a , mas como está multiplicado por , que tende a 0, o expoente tende a 0. Portanto, . -
O denominador
quando é próximo de 0, fica aproximadamente . -
Então, perto de 0, a função se comporta como
.
Comportamento para
tendendo a
:
-
Novamente,
. Quando cresce, também cresce, então o expoente vai para , o que faz tender a 0 rapidamente. -
O denominador
para grande, é aproximadamente . -
Então, para
grande, a função se comporta como .
Passo 4
Com base nessas observações, vamos aplicar o Teste da Comparação para verificar a convergência da integral.
Para
próximo de 0:
Sabemos que a função se comporta como 1. Então, podemos comparar com a integral:
Essa integral é finita, o que sugere que a nossa função original não tem problemas de convergência perto de 0.
Para
tendendo a
:
A função se comporta como
, já que
tende a 0 muito mais rápido que
. Sabemos que:
No entanto, como nossa função original é menor do que
para
grande, mas
diverge, precisamos encontrar uma função maior que nossa função original que converja.
Considerando que
decresce mais rápido que qualquer potência de
, podemos afirmar que:
E sabemos que:
Esse resultado é finito, o que indica que nossa integral original também converge para o intervalo de
a
.
Passo 5
Como vimos, a integral:
não apresenta problemas de convergência nem perto de 0 nem para
tendendo a
. Aplicando o Teste da Comparação, concluímos que a integral é convergente.
Resposta
A integral
é convergente.