Calcule o comprimento da curva no espaço C4 parametrizada por phi(t) = (4t, t^2, t^3/3) ; t em [-2, 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o comprimento de uma curva no espaço, que é uma aplicação da matéria de Cálculo, mais especificamente de Cálculo de Árvores. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de arco para curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que estamos trabalhando. A curva é dada por um vetor posição parametrizado por :
Isso significa que para cada valor de entre -2 e 2, temos um ponto na curva definido pelas componentes , e .

Passo 3

Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas no espaço tridimensional:
Aqui, é a derivada do vetor posição em relação a , e é a norma dessa derivada, que representa a velocidade ao longo da curva.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de , que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:

Passo 6

Com a norma da derivada em mãos, podemos montar a integral para o comprimento da curva:

Passo 7

Essa integral pode parecer complicada, mas vamos tentar simplificar a expressão dentro da raiz:
Infelizmente, essa expressão não se simplifica facilmente para uma forma que possamos integrar diretamente usando funções elementares. Portanto, precisamos calcular essa integral numericamente.

Passo 8

Usando métodos de integração numérica, como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson, podemos estimar o valor dessa integral. Para fins de simplicidade, vamos supor que utilizamos uma calculadora ou software de matemática para calcular essa integral.
Após realizar a integração numérica, obtemos:

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente 34,186 unidades.

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