Calcule dy/dx sendo sen(y) + y^3 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar a derivada . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é quando y está ligado a x de forma que não dá pra isolar facilmente y em função de x. Basicamente, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que quando diferenciamos algo que depende de y, que por sua vez depende de x, a gente aplica a regra da cadeia.
Então, a derivada de em relação a x é .
A derivada de em relação a x é .
E a derivada de 1 em relação a x é 0.

Passo 3

Juntando tudo, temos:

Passo 4

Agora, vamos fatorar da equação:
Para isolarmos , dividimos ambos os lados pela :
Mas isso implicaria que é sempre zero, o que não faz sentido a menos que a expressão original tenha derivada constante. Parece que houve um erro. Vamos revisar.
Na verdade, ao diferenciar ambos os lados, ficaria:
Então, somando os termos com :
Para isolar , movemos os outros termos para o outro lado:

Resposta

A derivada é igual a .

Exercícios relacionados