Mostre que a equação 4 x^3 - 6 x^2 + 3 x - 2 = 0 admite pelo menos uma raiz real e determine o intervalo em que essa raiz aparece.

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer: temos a equação e queremos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Além disso, precisamos descobrir em qual intervalo essa raiz está. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta matemática que ajuda a encontrar onde uma função cruza o eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função associada à equação:
Isso significa que encontrar as raízes da equação é o mesmo que encontrar os valores de onde .

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dessa função em alguns pontos para ver onde ela muda de sinal, porque uma mudança de sinal indica que a função cruzou o eixo x nesse intervalo.
Vamos começar calculando :
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Então, .

Passo 6

Observamos que:
  • (negativo)
  • (positivo)
Como a função mudou de negativo para positivo entre e , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo.

Resposta

A equação tem pelo menos uma raiz real no intervalo .

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