Mostre que a equação
admite pelo menos uma raiz real e determine o intervalo em que essa raiz aparece.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer: temos a equação
e queremos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz real. Além disso, precisamos descobrir em qual intervalo essa raiz está. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta matemática que ajuda a encontrar onde uma função cruza o eixo x.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função associada à equação:
Isso significa que encontrar as raízes da equação é o mesmo que encontrar os valores de
onde
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor dessa função em alguns pontos para ver onde ela muda de sinal, porque uma mudança de sinal indica que a função cruzou o eixo x nesse intervalo.
Vamos começar calculando
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 6
Observamos que:
-
(negativo) -
(positivo)
Como a função mudou de negativo para positivo entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma raiz real no intervalo
.