Calcule o comprimento da curva C5 parametrizada por
varphi(t) = (t, ln(cos(t))); t in [0, pi/3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o comprimento de uma curva que é dada de forma paramétrica. Ou seja, a curva é descrita por duas funções, uma para o eixo x e outra para o eixo y, em termos de uma variável t. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas e fazer algumas derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a curva. A curva é dada por:
Aqui, e . Estamos trabalhando no intervalo .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a t, ou seja, e .
Para :
Para :
Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Lembrando que , então a integral fica:
A integral de é , então:
Calculando nos limites:
Para :
Então:
Para :
Então:
Portanto:

Resposta

O comprimento da curva é .

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