Calcule o comprimento da curva
parametrizada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o comprimento de uma curva que é dada de forma paramétrica. Ou seja, a curva é descrita por duas funções, uma para o eixo x e outra para o eixo y, em termos de uma variável t. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas e fazer algumas derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que descrevem a curva. A curva
é dada por:
Aqui,
e
. Estamos trabalhando no intervalo
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a t, ou seja,
e
.
Para
:
Para
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de é
, onde
:
Usamos a regra da cadeia. A derivada de
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Lembrando que
, então a integral fica:
A integral de
é
, então:
Calculando nos limites:
Para :
Para
Então:
Para
:
Então:
Portanto:
Resposta
O comprimento da curva
é
.