Calcule olimite abaixo utitizando a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve exponenciais usando a regra de L’Hôpital. A questão é calcular:
Para isso, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos limites que resultam em uma forma indeterminada como
ou
. Vamos checar se podemos aplicar essa regra aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0.
Quando
:
-
(usando a expansão em série de Taylor) - Então,
- O denominador é
Assim, o limite fica:
Mas para seguir o método solicitado, vamos aplicar a regra de L’Hôpital passo a passo.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Primeiro, vamos confirmar que o nosso limite está na forma
:
- Quando
, - E
Então, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
em relação a é - Derivada do denominador
em relação a é
Agora, o limite fica:
Passo 5
Vamos verificar novamente a forma do limite. Substituindo
:
Mais uma vez, temos
, então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Derivando novamente:
- Derivada do numerador
é - Derivada do denominador
é
Agora, o limite é:
Quando
,
, então:
Resposta
O limite é
.