Calcule olimite abaixo utitizando a regra de L lim x 0 e^x-1-xx^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve exponenciais usando a regra de L’Hôpital. A questão é calcular:
lim x 0 e^x - 1 - xx^2
Para isso, vamos precisar usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos limites que resultam em uma forma indeterminada como ou . Vamos checar se podemos aplicar essa regra aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando lim x 0 x^22x^2 = 12 se aproxima de 0.
Quando :
  • (usando a expansão em série de Taylor)
  • Então,
  • O denominador é
Assim, o limite fica:
Mas para seguir o método solicitado, vamos aplicar a regra de L’Hôpital passo a passo.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite das derivadas.
Primeiro, vamos confirmar que o nosso limite está na forma :
  • Quando ,
  • E
Então, podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador lim x 0 e^x - 12x em relação a é
  • Derivada do denominador em relação a é
Agora, o limite fica:

Passo 5

Vamos verificar novamente a forma do limite. Substituindo lim x 0 e^x2 :
  • 12
Mais uma vez, temos , então aplicamos a regra de L’Hôpital novamente.
Derivando novamente:
  • Derivada do numerador é
  • Derivada do denominador é
Agora, o limite é:
Quando , , então:

Resposta

O limite é .

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