Determine um fator integrante e resolva.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar um fator integrante e resolver a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) do primeiro grau. Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata, ou seja, que permita integrar diretamente ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação já é exata. Uma equação da forma
é exata se
.
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de
. O fator
deve satisfazer:
Substituindo os valores:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação modificada é exata, ou seja, existe uma função
tal que:
Passo 5
Para encontrar
, integramos o primeiro termo em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e será determinada na próxima etapa.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos ao segundo termo da equação de exata:
Simplificando:
Para que a igualdade seja verdadeira para todos os
e
, o coeficiente de
deve ser zero:
Integrando
:
Essa integral resulta em
, mas para simplificar, podemos ajustar a constante de integração e expressar a solução de forma mais direta.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.