Determine um fator integrante e resolva.
sen(y) dx + cos(y) dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar um fator integrante e resolver a equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) do primeiro grau. Para resolver, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata, ou seja, que permita integrar diretamente ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação já é exata. Uma equação da forma é exata se .
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende apenas de . O fator deve satisfazer:
Substituindo os valores:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação modificada é exata, ou seja, existe uma função tal que:

Passo 5

Para encontrar , integramos o primeiro termo em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e será determinada na próxima etapa.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos ao segundo termo da equação de exata:
Simplificando:
Para que a igualdade seja verdadeira para todos os e , o coeficiente de deve ser zero:
Integrando :
Essa integral resulta em , mas para simplificar, podemos ajustar a constante de integração e expressar a solução de forma mais direta.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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