Considere a parábola C3 parametrizada por varphi(t)=(1+t, t^2);
t in[0,2] e a função f(x, y)=(1+4 y)^3 / 2
Calcule integralC3 f d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma parábola parametrizada por para entre 0 e 2. Temos também uma função . Nosso objetivo é calcular a integral de linha .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especificamente parametrização de curvas e cálculo de derivadas para encontrar o comprimento diferencial .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como parametrizar a curva . A parametrização dada é , onde varia de 0 a 2. Isso significa que para cada valor de nesse intervalo, temos um ponto na parábola.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização varphi'(t) = ( ddt(1 + t), ddt(t^2) ) = (1, 2t) em relação a , que é . Isso nos ajudará a calcular o diferencial de comprimento .

Passo 4

O próximo passo é calcular o módulo da derivada | varphi'(t) | = raiz(1)^2 + (2t)^2 = raiz1 + 4t^2 , que é necessário para encontrar dr = | varphi'(t) | dt = raiz1 + 4t^2 , dt .
Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos f(x(t), y(t)) = (1 + 4y(t))^3/2 = (1 + 4t^2)^3/2 e na função :

Passo 6

A integral de linha integral0^2 f(x(t), y(t)) cdot | varphi'(t) | , dt = integral0^2 (1 + 4t^2)^3/2 cdot raiz1 + 4t^2 , dt pode ser escrita em termos de (1 + 4t^2)^3/2 cdot raiz1 + 4t^2 = (1 + 4t^2)^2 como:
integral0^2 (1 + 4t^2)^2 dt
Simplificando as potências:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos expandir (1 + 4t^2)^2 = 1 + 8t^2 + 16t^4 :
integral0^2 (1 + 8t^2 + 16t^4) dt = integral0^2 1 , dt + integral0^2 8t^2 , dt + integral0^2 16t^4 , dt
Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 8

Calculando cada integral:

Passo 9

Somando os resultados das integrais:
2 + 643 + 5125
Para somar essas frações, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores 3 e 5, que é 15:
2 = 3015, 643 = 32015, 5125 = 153615
Então, somando:
3015 + 32015 + 153615 = 188615

Resposta

A integral de linha é igual a .

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