Considere a parábola parametrizada por ; e a função
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma parábola parametrizada por para entre 0 e 2. Temos também uma função . Nosso objetivo é calcular a integral de linha .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especificamente parametrização de curvas e cálculo de derivadas para encontrar o comprimento diferencial .
Passo 2
Primeiro, vamos entender como parametrizar a curva . A parametrização dada é , onde varia de 0 a 2. Isso significa que para cada valor de nesse intervalo, temos um ponto na parábola.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a , que é . Isso nos ajudará a calcular o diferencial de comprimento .
Passo 4
O próximo passo é calcular o módulo da derivada , que é necessário para encontrar .
Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos e na função :
Passo 6
A integral de linha pode ser escrita em termos de como:
Simplificando as potências:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos expandir :
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 8
Calculando cada integral:
Passo 9
Somando os resultados das integrais:
2 + 643 + 5125
Para somar essas frações, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores 3 e 5, que é 15: