Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
f(t)=(t, 2 t, 3 t), para 0 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
f(t)=(t,\,2t,\,3t)
no intervalo \;0\le t\le2\; e pede o comprimento dessa curva nesse intervalo.
Informações relevantes:
  • A função vetorial é \;f:[0,2]\to\mathbb{R}^3, \;f(t)=(x(t),y(t),z(t)) com x(t)=t, y(t)=2t, z(t)=3t.
  • O intervalo do parâmetro é [0,2].
  • Objetivo: calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=2.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada): o comprimento L de uma curva suave f(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t\in[a,b] é dado por
L=\int_{a}^{b}\big\|f'(t)\big\|\,dt.
Aqui f'(t) é a derivada vetorial componente a componente, e \|f'(t)\| é a norma euclidiana (módulo) do vetor derivada. Intuição simples: a derivada f'(t) dá a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva; integrar a velocidade ao longo do tempo dá a distância total percorrida.

Passo 3

Calcular a derivada vetorial f'(t) componente a componente. Derivamos cada componente em relação a t:
  • \dfrac{d}{dt}x(t)=\dfrac{d}{dt}t=1.
  • \dfrac{d}{dt}y(t)=\dfrac{d}{dt}(2t)=2.
  • \dfrac{d}{dt}z(t)=\dfrac{d}{dt}(3t)=3.
Portanto
f'(t)=(1,\,2,\,3).
Observação útil: neste caso f'(t) é constante (não depende de t) porque as componentes são funções lineares.

Passo 4

Calcular a norma euclidiana de f'(t). Em \mathbb{R}^3, para um vetor (a,b,c) a norma é
\|(a,b,c)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Aplicando a f'(t)=(1,2,3) obtemos
\big\|f'(t)\big\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Como f'(t) é constante, sua norma também é constante: \big\|f'(t)\big\|=\sqrt{14} para todo t.

Passo 5

Aplicar a fórmula do comprimento com a norma constante. Temos
L=\int_{0}^{2}\big\|f'(t)\big\|\,dt=\int_{0}^{2}\sqrt{14}\,dt.
Integral de uma constante é simplesmente constante vezes o comprimento do intervalo:
L=\sqrt{14}\cdot(2-0)=2\sqrt{14}.

Passo 6

Verificação geométrica (ajuda a fixar a ideia): a curva é uma linha reta que liga f(0)=(0,0,0) a f(2)=(2,4,6). O comprimento de um segmento de reta entre dois pontos em \mathbb{R}^3 é a distância euclidiana:
\sqrt{(2-0)^{2}+(4-0)^{2}+(6-0)^{2}}=\sqrt{4+16+36}=\sqrt{56}=2\sqrt{14},
que confere com o resultado obtido pela integral.

Resposta

2\sqrt{14}

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