Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
, para
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
definida no intervalo
.
A única coisa que é pedida é: calcular o comprimento da curva entre e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A única coisa que é pedida é: calcular o comprimento da curva entre
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva está no espaço
. - Cada coordenada é a mesma função
. - O intervalo do parâmetro é
.
Passo 2
Fórmula que vou usar (e por que ela funciona). Para uma curva suave
o comprimento arclength
é dado por
Explicando isso de forma didática:
é o vetor velocidade (derivada componente a componente). A norma
é a velocidade escalar — ou seja, a rapidez com que a posição muda no tempo
. Integrando a rapidez ao longo do intervalo obtemos a distância total percorrida. A norma Euclidiana de um vetor
é
Portanto, para aplicar a fórmula preciso:
- Calcular
(derivada componente por componente). - Calcular
. - Integrar
de a .
Passo 3
Calcular
. Derivando cada coordenada
obtemos
. Logo
Comentário: a derivada é constante, isso já indica que a curva é uma reta com velocidade constante.
Passo 4
Calcular a norma de
. Usando a fórmula da norma Euclidiana,
Observação: é uma constante (não depende de
), o que simplifica a integral do comprimento.
Passo 5
Montar e calcular a integral do comprimento. Pela fórmula do Passo 2,
Como
é constante,
Passo 6
Interpretação geométrica (cheia de ânimo!): a curva é a reta que vai de
até
. O comprimento de uma reta entre dois pontos é simplesmente a distância Euclidiana entre os pontos, que é
confirmando o resultado obtido pela integral. Então tanto pela fórmula do comprimento quanto pela distância entre extremos dá o mesmo número — ótimo sinal!