Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
p(t)=(t, t, t), para 1 \leq t \leq 4.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \,p(t)=(t,t,t)\, definida no intervalo \,1\le t\le 4\,.
A única coisa que é pedida é: calcular o comprimento da curva entre t=1 e t=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva está no espaço \mathbb{R}^3.
  • Cada coordenada é a mesma função t.
  • O intervalo do parâmetro é [1,4].

Passo 2

Fórmula que vou usar (e por que ela funciona). Para uma curva suave \,p:[a,b]\to\mathbb{R}^n\, o comprimento arclength L é dado por
L=\int_{a}^{b}\|p'(t)\|\,dt.
Explicando isso de forma didática: p'(t) é o vetor velocidade (derivada componente a componente). A norma \|p'(t)\| é a velocidade escalar — ou seja, a rapidez com que a posição muda no tempo t. Integrando a rapidez ao longo do intervalo obtemos a distância total percorrida. A norma Euclidiana de um vetor (v_1,\dots,v_n) é
\|(v_1,\dots,v_n)\|=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}.
Portanto, para aplicar a fórmula preciso:
  1. Calcular p'(t) (derivada componente por componente).
  2. Calcular \|p'(t)\|.
  3. Integrar \|p'(t)\| de t=1 a t=4.

Passo 3

Calcular p'(t). Derivando cada coordenada \,t\mapsto t\, obtemos 1. Logo
p'(t)=(1,1,1).
Comentário: a derivada é constante, isso já indica que a curva é uma reta com velocidade constante.

Passo 4

Calcular a norma de p'(t). Usando a fórmula da norma Euclidiana,
\|p'(t)\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Observação: é uma constante (não depende de t), o que simplifica a integral do comprimento.

Passo 5

Montar e calcular a integral do comprimento. Pela fórmula do Passo 2,
L=\int_{1}^{4}\|p'(t)\|\,dt=\int_{1}^{4}\sqrt{3}\,dt.
Como \sqrt{3} é constante,
L=\sqrt{3}\int_{1}^{4}dt=\sqrt{3}\,(4-1)=3\sqrt{3}.

Passo 6

Interpretação geométrica (cheia de ânimo!): a curva é a reta que vai de p(1)=(1,1,1) até p(4)=(4,4,4). O comprimento de uma reta entre dois pontos é simplesmente a distância Euclidiana entre os pontos, que é
\|p(4)-p(1)\|=\|(3,3,3)\|=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3},
confirmando o resultado obtido pela integral. Então tanto pela fórmula do comprimento quanto pela distância entre extremos dá o mesmo número — ótimo sinal!

Resposta

3\sqrt{3}

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