Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
h(t)=(2 \cos (t), 2 \operatorname{sen}(t), 0), para 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
h(t) = \bigl(2\cos(t),\;2\sin(t),\;0\bigr),\qquad 0\le t\le \pi,
e pede o comprimento da curva no intervalo t\in[0,\pi].
Informações relevantes:
  • A curva está em \mathbb{R}^3 com componentes x(t)=2\cos t, y(t)=2\sin t, z(t)=0.
  • O parâmetro varia de 0 até \pi.
  • Objetivo: calcular o comprimento L da curva entre t=0 e t=\pi.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (definição do comprimento de uma curva parametrizada): se
h(t) = \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr),
então o comprimento entre t=a e t=b é
L=\int_a^b \left\|h'(t)\right\|\,dt,
onde \left\|h'(t)\right\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.
Explicando: h'(t) é o vetor velocidade; sua norma dá a velocidade escalar instantânea, e integrar essa velocidade ao longo do tempo dá o comprimento da trajetória.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes (usar regras básicas: \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t):
h'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr)=\bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;0\bigr).

Passo 4

Calcular a norma de h'(t). Primeiro o quadrado da norma:
\|h'(t)\|^2 = (-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + 0^2 = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t.
Fatorando e usando a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1, obtemos
\|h'(t)\|^2 = 4(\sin^2 t+\cos^2 t)=4.
Portanto
\|h'(t)\|=\sqrt{4}=2.
Observação útil para prova: aqui a velocidade é constante igual a 2, o que simplifica muito a integral.

Passo 5

Aplicar a fórmula do comprimento com a norma constante:
L=\int_{0}^{\pi} \|h'(t)\|\,dt = \int_{0}^{\pi} 2\,dt.
Calcule a integral:
L = 2\bigl[t\bigr]_{0}^{\pi} = 2(\pi-0)=2\pi.
Interpretação geométrica rápida: a curva é um semicírculo de raio 2, cujo comprimento é \pi\cdot 2=2\pi. Dica de prova: para a parametrização genérica \bigl(r\cos t,r\sin t\bigr) em t\in[0,\pi] o mesmo raciocínio dá L=r\pi.

Resposta

2\pi

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