e pede o comprimento da curva no intervalo t\in[0,\pi].
Informações relevantes:
A curva está em \mathbb{R}^3 com componentes x(t)=2\cos t, y(t)=2\sin t, z(t)=0.
O parâmetro varia de 0 até \pi.
Objetivo: calcular o comprimento L da curva entre t=0 e t=\pi.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (definição do comprimento de uma curva parametrizada): se
h(t) = \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr),
então o comprimento entre t=a e t=b é
L=\int_a^b \left\|h'(t)\right\|\,dt,
onde \left\|h'(t)\right\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.
Explicando: h'(t) é o vetor velocidade; sua norma dá a velocidade escalar instantânea, e integrar essa velocidade ao longo do tempo dá o comprimento da trajetória.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes (usar regras básicas: \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t = \cos t):
Interpretação geométrica rápida: a curva é um semicírculo de raio 2, cujo comprimento é \pi\cdot 2=2\pi. Dica de prova: para a parametrização genérica \bigl(r\cos t,r\sin t\bigr) em t\in[0,\pi] o mesmo raciocínio dá L=r\pi.