Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
, para
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
no intervalo de parâmetro
.
O que pede: calcular o comprimento da curva para esse intervalo de .
O que pede: calcular o comprimento da curva para esse intervalo de
Informações relevantes fornecidas:
- A função vetorial está explícita em cada componente: primeira componente
, segunda componente , terceira componente . - O intervalo de integração é
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicando didaticamente).
Para uma curva parametrizada por com
, o comprimento da curva é dado por
Para uma curva parametrizada por
Aqui
é a derivada vetorial componente a componente, e
é a norma (comprimento) desse vetor velocidade para cada
. Intuitivamente,
diz “quão rápido” a posição no espaço está mudando; somando (integrando) essa rapidez ao longo do tempo obtemos o comprimento total da trajetória.
Explicando a norma: se
, então
Passo 3
Calcular
componente a componente e justificar as derivadas.
- Derivada de
: regra básica , então . - Derivada de
: regra , então . - Derivada de
: regra linear .
Portanto
Passo 4
Calcular a norma
explicitamente.
Usando a definição da norma:
Usando a definição da norma:
Agora desenvolvendo os quadrados:
Somando:
Passo 5
Simplificar usando a identidade trigonométrica
.
Agrupando os termos com :
Agrupando os termos com
Logo
Podemos simplificar
. Note que a velocidade é constante (não depende de
), o que simplifica muito a integral do comprimento: se a velocidade é constante
, então o comprimento sobre
é
.
Passo 6
Calcular o comprimento integrando a norma constante no intervalo
a
.
Como para todo
,
Como
Passo 7
Interpretação rápida e dica para prova: quando ao derivar as componentes você obtiver uma soma que contenha
, aproveite a identidade trigonométrica para simplificar; muitas curvas circulares combinadas com um movimento linear em outra direção resultam em velocidade constante, tornando o cálculo do comprimento direto (velocidade constante × comprimento do intervalo de parâmetro). Vai dar tempo e evita cálculo desnecessário na prova — respira, organiza e aplica a identidade.