Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
q(t)=(4 \cos (t), 4 \operatorname{sen}(t), 2 t), para 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
q(t) = \bigl(4\cos(t),\;4\operatorname{sen}(t),\;2t\bigr)
no intervalo de parâmetro 0 \le t \le 2\pi.
O que pede: calcular o comprimento da curva para esse intervalo de t.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial está explícita em cada componente: primeira componente 4\cos(t), segunda componente 4\operatorname{sen}(t), terceira componente 2t.
  • O intervalo de integração é t\in[0,2\pi].

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicando didaticamente).
Para uma curva parametrizada por q(t) com t\in[a,b], o comprimento da curva é dado por
L=\int_{a}^{b}\|q'(t)\|\,dt.
Aqui q'(t) é a derivada vetorial componente a componente, e \|q'(t)\| é a norma (comprimento) desse vetor velocidade para cada t. Intuitivamente, \|q'(t)\| diz “quão rápido” a posição no espaço está mudando; somando (integrando) essa rapidez ao longo do tempo obtemos o comprimento total da trajetória.
Explicando a norma: se v(t)=(v_1(t),v_2(t),v_3(t)), então
\|v(t)\|=\sqrt{v_1(t)^2+v_2(t)^2+v_3(t)^2}.

Passo 3

Calcular q'(t) componente a componente e justificar as derivadas.
  • Derivada de 4\cos(t): regra básica \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t), então \dfrac{d}{dt}4\cos(t)=-4\sin(t).
  • Derivada de 4\operatorname{sen}(t): regra \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\cos(t), então \dfrac{d}{dt}4\operatorname{sen}(t)=4\cos(t).
  • Derivada de 2t: regra linear \dfrac{d}{dt}2t=2.
Portanto
q'(t)=\bigl(-4\sin(t),\;4\cos(t),\;2\bigr).

Passo 4

Calcular a norma \|q'(t)\| explicitamente.
Usando a definição da norma:
\|q'(t)\|=\sqrt{(-4\sin(t))^2+(4\cos(t))^2+(2)^2}.
Agora desenvolvendo os quadrados:
(-4\sin(t))^2=16\sin^2(t),\qquad (4\cos(t))^2=16\cos^2(t),\qquad 2^2=4.
Somando:
\|q'(t)\|=\sqrt{16\sin^2(t)+16\cos^2(t)+4}.

Passo 5

Simplificar usando a identidade trigonométrica \sin^2(t)+\cos^2(t)=1.
Agrupando os termos com 16:
16\sin^2(t)+16\cos^2(t)=16\bigl(\sin^2(t)+\cos^2(t)\bigr)=16\cdot 1=16.
Logo
\|q'(t)\|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}.
Podemos simplificar \sqrt{20}=2\sqrt{5}. Note que a velocidade é constante (não depende de t), o que simplifica muito a integral do comprimento: se a velocidade é constante v_0, então o comprimento sobre [a,b] é v_0(b-a).

Passo 6

Calcular o comprimento integrando a norma constante no intervalo 0 a 2\pi.
Como \|q'(t)\|=2\sqrt{5} para todo t,
L=\int_{0}^{2\pi} 2\sqrt{5}\,dt = 2\sqrt{5}\int_{0}^{2\pi} dt = 2\sqrt{5}\,(2\pi-0)=4\pi\sqrt{5}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para prova: quando ao derivar as componentes você obtiver uma soma que contenha \sin^2+\cos^2, aproveite a identidade trigonométrica para simplificar; muitas curvas circulares combinadas com um movimento linear em outra direção resultam em velocidade constante, tornando o cálculo do comprimento direto (velocidade constante × comprimento do intervalo de parâmetro). Vai dar tempo e evita cálculo desnecessário na prova — respira, organiza e aplica a identidade.

Resposta

4\pi\sqrt{5}

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