Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
r(t)=(5 t, 12 t, 0), para 0 \leq t \leq 3.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t) = (5t,\;12t,\;0)
definida no intervalo \;0 \le t \le 3. A pergunta é: calcular o comprimento (comprimento de arco) dessa curva no intervalo dado. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função vetorial r(t) tem três componentes: x(t)=5t, y(t)=12t, z(t)=0.
  • O intervalo de parametrização é \;[0,3].
  • Queremos o comprimento de arco da curva entre t=0 e t=3.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): para uma curva dada por uma função vetorial r(t) com derivada contínua no intervalo [a,b], o comprimento de arco L é dado por
L=\int_{a}^{b} \|r'(t)\|\,dt.
Aqui:
  • r'(t) é a derivada de r em relação a t, obtida derivando cada componente.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor: se v=(v_1,v_2,v_3) então \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
    Intuição pequena e prática: dividimos a curva em muitos pedacinhos pequenos, cada pedaço é bem aproximado por um segmento de reta cujo comprimento é \|r'(t)\|\Delta t; somando e fazendo o limite obtemos a integral acima.

Passo 3

Derivamos r(t) componente a componente. Como x(t)=5t, y(t)=12t e z(t)=0, temos
r'(t) = (5,\;12,\;0).
Observe que r'(t) é constante (não depende de t) — isso significa que a velocidade do ponto que percorre a curva tem módulo constante e a curva é uma reta.

Passo 4

Calculamos a norma de r'(t):
\|r'(t)\| = \sqrt{5^{2}+12^{2}+0^{2}} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13.
Comentário: 5,12,13 é uma conhecida ternária pitagórica, por isso a raiz deu um inteiro.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do comprimento com a=0, b=3 e \|r'(t)\|=13 constante:
L=\int_{0}^{3} 13\,dt = 13\bigl[t\bigr]_{0}^{3} = 13(3-0) = 39.
Uma interpretação geométrica alternativa (rápida): a curva é a reta que vai do ponto r(0)=(0,0,0) até r(3)=(15,36,0); a distância entre esses dois pontos é \sqrt{15^{2}+36^{2}}=\sqrt{225+1296}=\sqrt{1521}=39, mesmo resultado.

Resposta

39

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