Calcule o comprimento da curva, para cada situação a seguir:
, para
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
definida no intervalo
. A pergunta é: calcular o comprimento (comprimento de arco) dessa curva no intervalo dado. Informações importantes extraídas do enunciado:
- A função vetorial
tem três componentes: , , . - O intervalo de parametrização é
. - Queremos o comprimento de arco da curva entre
e .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): para uma curva dada por uma função vetorial
com derivada contínua no intervalo
, o comprimento de arco
é dado por
Aqui:
-
é a derivada de em relação a , obtida derivando cada componente. -
é a norma euclidiana do vetor: se então .
Intuição pequena e prática: dividimos a curva em muitos pedacinhos pequenos, cada pedaço é bem aproximado por um segmento de reta cujo comprimento é; somando e fazendo o limite obtemos a integral acima.
Passo 3
Derivamos
componente a componente. Como
,
e
, temos
Observe que
é constante (não depende de
) — isso significa que a velocidade do ponto que percorre a curva tem módulo constante e a curva é uma reta.
Passo 4
Calculamos a norma de
:
Comentário:
é uma conhecida ternária pitagórica, por isso a raiz deu um inteiro.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do comprimento com
,
e
constante:
Uma interpretação geométrica alternativa (rápida): a curva é a reta que vai do ponto
até
; a distância entre esses dois pontos é
, mesmo resultado.