No instante t=0 uma partícula parte do ponto (0,1,0) com velocidade v(0)=j. Sabendo que sua aceleração em qualquer instante t é a(t)=2 t i+sen(t) j+cos (2 t) k, determine os vetores velocidade v(t) e posição r(t) em qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado diz que em t=0 temos
r(0)=(0,1,0) e v(0)=j,
e que a aceleração é
a(t)=2t,i+sin(t),j+cos(2t),k
Para achar v(t) e r(t) a qualquer t, vamos usar que
v(t)=integral a(t),dt+C1
e
r(t)=integral v(t),dt+C2,
determinando as constantes vetoriais C1 e C2 pelos dados iniciais.

Passo 2

Integramos termo a termo a aceleração para obter uma forma geral de v(t):
v(t) =integrall(2t,i+sin t,j+cos(2t),kr)dt =t^2,i -cos t,j +tfrac12sin(2t),k +C1

Passo 3

Usamos v(0)=j para achar C1. Em t=0 a parte não constante vale
0^2,i-cos0,j+tfrac12sin0,k =-1,j,
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v(0)=-j+C1=j Longrightarrow C1=2,j
Portanto
v(t) =t^2,i+l(2-cos tr),j+tfrac12sin(2t),k

Passo 4

Agora integramos v(t) para achar uma forma geral de r(t):
r(t) =integrall(t^2,i+(2-cos t),j+tfrac12sin(2t),kr)dt =t^33,i +l(2t-sin tr),j -tfrac14cos(2t),k +C2

Passo 5

Usamos r(0)=(0,1,0) para determinar C2. Em t=0 a parte não constante é
0^33,i+(2cdot0-sin0),j-tfrac14cos0,k =-tfrac14,k,
de modo que
r(0)=-tfrac14,k+C2=(0,1,0) Longrightarrow C2=(0,1,tfrac14)
Assim
r(t) =t^33,i +l(2t-sin t+1r),j +l(-tfrac14cos(2t)+tfrac14r),k

Resposta

v(t)=t^2,i+l(2-cos tr),j+tfrac12sin(2t),k,
r(t)=t^33,i+l(2t-sin t+1r),j+1-cos(2t)4,k

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