(a) Escreva o enunciado do teorema de existência e unicidade (T.E.U.) para equações de primeira ordem. Qual condição garante existência? Qual condição garante unicidade?
(b) Para a equação diferencial y^prime+2 x y^2=0, determine a região onde se verificam as hipóteses do T.E.U. [Resp: em todo R^2 ].
(c) Encontre a única solução do p.v.i. y^prime+2 x y^2=0, y(0)=-1. Em que intervalo a solução está definida? Isto contradiz o T.E.U? Justifique. [Resp: y(x)=1x^2-1 definida em (-1,1)].

Passo 1

O enunciado pede (a) o Teorema de Existência e Unicidade para a equação de primeira ordem
y' = f(x,y),
indicando qual condição em f garante existência e qual garante unicidade; (b) verificar essas condições para
y' + 2xy^2 = 0Long<=ftrightarrow y' = -2xy^2,
e (c) resolver esse p.v.i.
y' + 2xy^2 = 0, y(0) = -1,
encontrando a única solução, seu domínio maximal e comentando se isso contradiz o TEU.

Passo 2

O Teorema de Existência e Unicidade (T.E.U.) para
y' = f(x,y)
diz o seguinte:
Se f é contínua num retângulo RsubsetR^2 contendo (x0,y0), éíâ
então existe pelo menos uma solução passando por (x0,y0) (existência). Se ainda
partial fpartial y é contínua em R, éí
essa solução é única no retângulo (unicidade).

Passo 3

Aqui temos
f(x,y) = -2xy^2,
então
partial fpartial y = -4xy
Ambas as funções f(x,y) e partial f/partial y são polinômios em (x,y), logo contínuas em todo R^2. Portanto as hipóteses do T.E.U. valem em R^2.

Passo 4

Para resolver o p.v.i., fazemos separação de variáveis:
dydx = -2xy^2 Longrightarrow dyy^2 = -2x,dx
Integramos:
integral dyy^2 = integral -2x,dx Longrightarrow -1y = -x^2 + C Longrightarrow 1y = x^2 + C'
Como y(0)=-1, obtemos 1/(-1) = 0 + C', então C' = -1. Logo
1y = x^2 - 1 Longrightarrow y(x) = 1x^2 - 1
Essa expressão só faz sentido quando x^2-1neq0, ou seja, xneq pm1. Como queremos o intervalo que contém 0, o máximo intervalo de existência é (-1,1).
Isso não contradiz o T.E.U., pois o teorema só garante existência e unicidade de solução num pequeno intervalo ao redor de x0=0, não obriga que a solução seja global em R.

Resposta

(a) Teorema de Existência e Unicidade: Se f(x,y) é contínua num retângulo RsubsetR^2 contendo (x0,y0), existe uma solução de y'=f(x,y) passando por (x0,y0). Se além disso partial f/partial y é contínua em R, essa solução é única.
Existência \iff f contínua; Unicidade \iff partial f/partial y contínua.
(b) Para y'=-2xy^2, f(x,y) e partial f/partial y são contínuas em todo R^2, logo as hipóteses valem em R^2.
(c) A única solução do p.v.i. é
y(x)=1x^2-1,
definida no intervalo (-1,1). Isso não contradiz o T.E.U., pois este garante apenas existência e unicidade local em torno de x0=0, não extensão global.

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