(a) Escreva o enunciado do teorema de existência e unicidade (T.E.U.) para equações de primeira ordem. Qual condição garante existência? Qual condição garante unicidade?
(b) Para a equação diferencial
, determine a regiĂŁo onde se verificam as hipĂłteses do T.E.U. [Resp: em todo
].
(c) Encontre a única solução do p.v.i.
. Em que intervalo a solução está definida? Isto contradiz o T.E.U? Justifique.
definida em
.
(b) Para a equação diferencial
(c) Encontre a única solução do p.v.i.
Passo 1
O enunciado pede (a) o Teorema de Existência e Unicidade para a equação de primeira ordem
indicando qual condição em
garante existência e qual garante unicidade; (b) verificar essas condições para
e (c) resolver esse p.v.i.
encontrando a única solução, seu domínio maximal e comentando se isso contradiz o TEU.
Passo 2
O Teorema de Existência e Unicidade (T.E.U.) para
diz o seguinte:
então existe pelo menos uma solução passando por
(existência). Se ainda
essa solução é única no retângulo (unicidade).
Passo 3
Aqui temos
então
Ambas as funções
e
são polinômios em
, logo contínuas em todo
. Portanto as hipóteses do T.E.U. valem em
.
Passo 4
Para resolver o p.v.i., fazemos separação de variáveis:
Integramos:
Como
, obtemos
, então
. Logo
Essa expressão só faz sentido quando
, ou seja,
. Como queremos o intervalo que contém
, o máximo intervalo de existência é
.
Isso não contradiz o T.E.U., pois o teorema só garante existência e unicidade de solução num pequeno intervalo ao redor de
, não obriga que a solução seja global em
.
Resposta
(a) Teorema de Existência e Unicidade: Se
é contínua num retângulo
contendo
, existe uma solução de
passando por
. Se além disso
é contínua em
, essa solução é única.
Existência \iff contínua; Unicidade \iff
contínua.
Existência \iff
(b) Para
,
e
são contínuas em todo
, logo as hipóteses valem em
.
(c) A única solução do p.v.i. é
definida no intervalo
. Isso não contradiz o T.E.U., pois este garante apenas existência e unicidade local em torno de
, não extensão global.