Calcule o comprimento da curva dada.
gamma(t)=(r(t-sin t), r(1-cos t)), t in[0, pi2], e r uma constante positiva.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada por
gamma(t) = l(r,(t-sin t),,r,(1-cos t)r), com tin[0,pi/2] e r>0.
O conteúdo envolvido é comprimento de curva no plano, cuja fórmula é
L = integrala^b l|gamma'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
gamma'(t) = l(r,(1-cos t),;r,sin tr)

Passo 3

Agora a norma do vetor velocidade:
l|gamma'(t)r| = rraiz(1-cos t)^2 + sin^2 t = rraiz2 - 2cos t = rraiz4sin^2l(tfrac t2r) = 2r,sin!l(tfrac t2r),
pois em tin[0,pi/2] temos sin(t/2)>=0.

Passo 4

Substituindo na integral de comprimento:
L = integral0^pi/2 2r,sin!l(tfrac t2r),dt = 2r;l[-2cos!l(tfrac t2r)r]0^pi/2 = -4rl(cos(tfracpi4)-cos0r) = -4rl(tfracraiz22-1r) = 2r,(2-raiz2)

Resposta

L = 2r,(2 - raiz2).

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