4- A região plana mathscrR=(x, y) in R^2 ; 2 <= x <= 4 e 0 <= y <= 2(x-1)^3 / 2 é rotacionada em torno do eixo x de modo a formar um sólido de revolução Q . Calcule o volume de Q .

Passo 1

O enunciado dá a região
mathscrR=(x,y)inR^2mid 2<= x<=4,;0<= y<=2(x-1)^3/2
e pede o volume do sólido Q obtido ao girar mathscrR em torno do eixo x.
O método adequado é o método dos discos, pois cada seção perpendicular ao eixo x é um círculo de raio
y=f(x)=2(x-1)^3/2

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume é
V = piintegralx=2^x=4l[f(x)r]^2,dx
Aqui
l[f(x)r]^2 = l[2(x-1)^3/2r]^2 = 4,(x-1)^3,
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V = piintegral2^44,(x-1)^3,dx = 4piintegral2^4(x-1)^3,dx

Passo 3

Para calcular
integral2^4(x-1)^3,dx, fazemos a substituição
t = x-1, x=2Rightarrow t=1, x=4Rightarrow t=3
Então
integral2^4(x-1)^3,dx = integral1^3t^3,dt = l[t^44r]1^3 = 3^4 - 1^44 = 81-14 =20

Passo 4

Substituindo de volta em V, temos
V = 4pi times 20 = 80pi

Resposta

V = 80pi

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