5- A região plana mathscrR=(x, y) in R^2 ; x <= 0 e x^2+4 <= y <= 8 é rotacionada em torno do eixo y de modo a formar um sólido de revolução T. Calcule o volume de T.

Passo 1

O enunciado dá a região
mathscrR=(x,y)inR^2 : x<= 0,;x^2+4<= y<= 8
e pede o volume do sólido T gerado por revolver mathscrR em torno do eixo y.
O conteúdo aqui é o método dos discos (ou “lavadores”) para volumes de revolução: cortamos o sólido por planos horizontais e integramos a área de cada disco.

Passo 2

Para fixar uma altura y, a região em x vai de
x=-raiz,y-4,
até
x=0,
pois x^2+4<= y |x|<=raizy-4 e estamos em x<=0.

Passo 3

Ao revolver em torno do eixo y, cada fatia horizontal vira um disco de raio igual à distância do ponto mais longe em x até o eixo, isto é
R(y)=l|-raiz,y-4,r|=raiz,y-4,,
e sem furo no meio (raio interno zero). A área desse disco é
A(y)=pil[R(y)r]^2=pi,(y-4)

Passo 4

O volume obtém-se integrando A(y) de y=4 até y=8:
V=integraly=4^8!A(y),dy =integral4^8pi,(y-4),dy =piintegral4^8(y-4),dy
Calculando,
integral4^8(y-4),dy =l[tfrac12(y-4)^2r]4^8 =tfrac12(8-4)^2-0 =tfrac12cdot16 =8
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V=picdot8=8pi

Resposta

8pi

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