Reparametrize as curvas dadas, pelo comprimento de arco. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para reparametrizar a curva dada pelo comprimento do arco. A curva que temos é , onde . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de arco e reparametrização de curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o comprimento do arco da curva em termos de e então expressar a curva em função desse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é reparametrização por comprimento de arco. Reparametrizar uma curva pelo comprimento do arco significa expressar a curva em termos de uma nova variável, geralmente denotada por , que representa a distância percorrida ao longo da curva desde um ponto inicial.
Passo 3
Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento do arco em função de . A fórmula para o comprimento do arco de uma curva de até é:
Onde é a derivada da curva em relação a , e é o comprimento (magnitude) do vetor velocidade.
Passo 4
Vamos calcular para a nossa curva . Derivando cada componente em relação a :
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude de :
Passo 6
Com isso, podemos escrever a expressão para o comprimento do arco desde até um ponto qualquer:
Aqui, usamos como variável de integração para evitar confusão com o limite superior .
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar , mas para simplificar, reconhecemos que a integral é da forma:
A solução dessa integral envolve funções hiperbólicas ou substituições trigonométricas, mas para nosso propósito, vamos buscar uma antiderivada:
Agora que temos s em função de t, precisamos expressar t em função de s para reparametrizar a curva. No entanto, essa relação não pode ser invertida facilmente de forma explícita devido à complexidade da expressão. Portanto, a reparametrização exata pode não ser possível de forma simples, mas podemos expressar a curva reparamrizadamente usando a função s(t) que encontramos.
Resposta
A reparametrização da curva pelo comprimento do arco é dada por:
Devido à complexidade da expressão, t(s) não pode ser expressa de forma explícita e, portanto, a reparametrização é apresentada em termos dessa relação implícita.