Reparametrize as curvas dadas, pelo comprimento de arco.
gamma(t)=(2 t, t^2, t), t >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para reparametrizar a curva dada pelo comprimento do arco. A curva que temos é gamma(t) = (2t, t^2, t), onde t >= 0. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimento de arco e reparametrização de curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o comprimento do arco da curva em termos de t e então expressar a curva em função desse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é reparametrização por comprimento de arco. Reparametrizar uma curva pelo comprimento do arco significa expressar a curva em termos de uma nova variável, geralmente denotada por s, que representa a distância percorrida ao longo da curva desde um ponto inicial.

Passo 3

Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento do arco s em função de t. A fórmula para o comprimento do arco de uma curva gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) de t = a até t = b é:
s = integrala^b |gamma'(t)| , dt
Onde gamma'(t) é a derivada da curva em relação a t, e |gamma'(t)| é o comprimento (magnitude) do vetor velocidade.

Passo 4

Vamos calcular gamma'(t) para a nossa curva gamma(t) = (2t, t^2, t). Derivando cada componente em relação a t:
gamma'(t) = (ddt(2t), ddt(t^2), ddt(t)) = (2, 2t, 1)

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude de gamma'(t):
|gamma'(t)| = raiz(2)^2 + (2t)^2 + (1)^2 = raiz4 + 4t^2 + 1 = raiz5 + 4t^2

Passo 6

Com isso, podemos escrever a expressão para o comprimento do arco s desde t = 0 até um ponto t qualquer:
s(t) = integral0^t raiz5 + 4tau^2 , dtau
Aqui, usamos tau como variável de integração para evitar confusão com o limite superior t.

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar tau = raiz52 tantheta, mas para simplificar, reconhecemos que a integral é da forma:
integral raiza^2 + b^2x^2 , dx
A solução dessa integral envolve funções hiperbólicas ou substituições trigonométricas, mas para nosso propósito, vamos buscar uma antiderivada:
s(t) = tau2 raiz5 + 4tau^2 + 54 ln(2tau + raiz5 + 4tau^2) gr|0^t

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Para tau = t:
t2 raiz5 + 4t^2 + 54 ln(2t + raiz5 + 4t^2)
Para tau = 0:
02 raiz5 + 0 + 54 ln(0 + raiz5) = 54 ln(raiz5)
Então, o comprimento do arco é:
s(t) = t2 raiz5 + 4t^2 + 54 ln(2t + raiz5 + 4t^2raiz5)

Passo 9

Agora que temos s em função de t, precisamos expressar t em função de s para reparametrizar a curva. No entanto, essa relação não pode ser invertida facilmente de forma explícita devido à complexidade da expressão. Portanto, a reparametrização exata pode não ser possível de forma simples, mas podemos expressar a curva reparamrizadamente usando a função s(t) que encontramos.

Resposta

A reparametrização da curva pelo comprimento do arco é dada por:
gamma(s) = (2t(s), (t(s))^2, t(s))
Onde t(s) é a função inversa de:
s(t) = t2 raiz5 + 4t^2 + 54 ln(2t + raiz5 + 4t^2raiz5)
Devido à complexidade da expressão, t(s) não pode ser expressa de forma explícita e, portanto, a reparametrização é apresentada em termos dessa relação implícita.

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