Calcule o comprimento da curva C dada pelas equações paramétricas x=t^{3} e y=t^{2}, para 1 \leq t \leq 3.
Solução:
Como queremos o comprimento do arco da referida curva no intervalo 1 \leq t \leq 3, temos t_{0}=1 e t_{1}=3. Além disso, das equações paramétricas dadas, temos, respectivamente,
que x^{\prime}(t)=3 t^{2} e y^{\prime}(t)=2 t. Então, calculando s, temos
\begin{aligned} \ell & =\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}} d t \\\ & =\int_{1}^{3} \sqrt{\left(3 t^{2}\right)^{2}+(2 t)^{2}} d t \\\ & =\int_{1}^{3} \sqrt{9 t^{4}+4 t^{2}} d t \\\ & =\int_{1}^{3} \sqrt{t^{2}\left(9 t^{2}+4\right)} d t \\\ & =\int_{1}^{3} t \sqrt{9 t^{2}+4} d t \end{aligned}
Para calcular a integral \int_{1}^{3} t \sqrt{9 t^{2}+4} d t, façamos
u=9 t^{2}+4 \Longrightarrow d u=18 t d t
Quanto aos limites de integração em u, temos que, quando t=1, u=13 e, quando t=3, temos u=85. Assim,
\begin{aligned}
\ell & =\int_{1}^{3} t \sqrt{9 t^{2}+4} d t=\int_{13}^{85} \sqrt{u} \frac{d u}{18} \\
& =\frac{1}{18} \int_{13}^{85} u^{\frac{1}{2}} d u=\left.\frac{1}{18} \cdot\left[\frac{2}{3} u^{3 / 2}\right]\right|_{13} ^{85} \\
& =\frac{1}{18} \cdot\left[\frac{2}{3} 85^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} 13^{\frac{3}{2}}\right]=\frac{1}{18} \cdot \frac{2}{3}[85 \sqrt{85}-13 \sqrt{13}] \\
& =\frac{1}{27}[85 \sqrt{85}-13 \sqrt{13}] u . c .
\end{aligned}
Passo 1
O que o problema pede:
Calcular o comprimento da curva C dada por x=t^{3} e y=t^{2} no intervalo 1\le t\le 3.
Informações fornecidas:
Equações paramétricas: x(t)=t^{3} e y(t)=t^{2}.
Intervalo do parâmetro: t_{0}=1 e t_{1}=3.
Passo 2
Fórmula que usamos (intuição e significado):
O comprimento de arco de uma curva parametrizada por x(t),y(t) em t\in[t_{0},t_{1}] é dado por
Explicando de maneira simples: dividimos a curva em pequenos segmentos, cada segmento tem comprimento aproximado pela hipotenusa de um triângulo com catetos \Delta x e \Delta y; passando ao limite isso leva à integral acima. Aqui x'(t) é a derivada de x em relação a t (velocidade na direção x) e y'(t) é a derivada de y em relação a t.
Observação importante sobre \sqrt{t^{2}}: \sqrt{t^{2}}=|t|. Como t varia em [1,3] e é positivo, temos |t|=t. Logo o integrando simplifica para
t\sqrt{9t^{2}+4}.
Passo 4
Escrever a integral do comprimento:
\ell=\int_{1}^{3} t\sqrt{9t^{2}+4}\;dt.
Escolha de método: aqui uma substituição simples resolve a integral porque vemos t\,dt multiplicando uma função de 9t^{2}+4. Então fazemos a substituição padrão para radicais do tipo \sqrt{a t^{2}+b}.