Calcule o comprimento da curva C dada pelas equações paramétricas x=t^{3} e y=t^{2}, para 1 \leq t \leq 3.

Solução:

Como queremos o comprimento do arco da referida curva no intervalo 1 \leq t \leq 3, temos t_{0}=1 e t_{1}=3. Além disso, das equações paramétricas dadas, temos, respectivamente,
que x^{\prime}(t)=3 t^{2} e y^{\prime}(t)=2 t. Então, calculando s, temos
\begin{aligned} \ell & =\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}} d t \\\ & =\int_{1}^{3} \sqrt{\left(3 t^{2}\right)^{2}+(2 t)^{2}} d t \\\ & =\int_{1}^{3} \sqrt{9 t^{4}+4 t^{2}} d t \\\ & =\int_{1}^{3} \sqrt{t^{2}\left(9 t^{2}+4\right)} d t \\\ & =\int_{1}^{3} t \sqrt{9 t^{2}+4} d t \end{aligned}
Para calcular a integral \int_{1}^{3} t \sqrt{9 t^{2}+4} d t, façamos
u=9 t^{2}+4 \Longrightarrow d u=18 t d t
Quanto aos limites de integração em u, temos que, quando t=1, u=13 e, quando t=3, temos u=85. Assim,
\begin{aligned} \ell & =\int_{1}^{3} t \sqrt{9 t^{2}+4} d t=\int_{13}^{85} \sqrt{u} \frac{d u}{18} \\ & =\frac{1}{18} \int_{13}^{85} u^{\frac{1}{2}} d u=\left.\frac{1}{18} \cdot\left[\frac{2}{3} u^{3 / 2}\right]\right|_{13} ^{85} \\ & =\frac{1}{18} \cdot\left[\frac{2}{3} 85^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3} 13^{\frac{3}{2}}\right]=\frac{1}{18} \cdot \frac{2}{3}[85 \sqrt{85}-13 \sqrt{13}] \\ & =\frac{1}{27}[85 \sqrt{85}-13 \sqrt{13}] u . c . \end{aligned}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o comprimento da curva C dada por x=t^{3} e y=t^{2} no intervalo 1\le t\le 3.
Informações fornecidas:
  • Equações paramétricas: x(t)=t^{3} e y(t)=t^{2}.
  • Intervalo do parâmetro: t_{0}=1 e t_{1}=3.

Passo 2

Fórmula que usamos (intuição e significado):
  • O comprimento de arco de uma curva parametrizada por x(t),y(t) em t\in[t_{0},t_{1}] é dado por
\ell=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.
Explicando de maneira simples: dividimos a curva em pequenos segmentos, cada segmento tem comprimento aproximado pela hipotenusa de um triângulo com catetos \Delta x e \Delta y; passando ao limite isso leva à integral acima. Aqui x'(t) é a derivada de x em relação a t (velocidade na direção x) e y'(t) é a derivada de y em relação a t.

Passo 3

Calcular as derivadas:
  • Diferenciando as paramétricas temos
x'(t)=3t^{2},\qquad y'(t)=2t.
Montamos o integrando:
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}=\sqrt{(3t^{2})^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{9t^{4}+4t^{2}}.
Fatorando t^{2} dentro da raiz:
\sqrt{9t^{4}+4t^{2}}=\sqrt{t^{2}(9t^{2}+4)}=\sqrt{t^{2}}\;\sqrt{9t^{2}+4}.
Observação importante sobre \sqrt{t^{2}}: \sqrt{t^{2}}=|t|. Como t varia em [1,3] e é positivo, temos |t|=t. Logo o integrando simplifica para
t\sqrt{9t^{2}+4}.

Passo 4

Escrever a integral do comprimento:
\ell=\int_{1}^{3} t\sqrt{9t^{2}+4}\;dt.
Escolha de método: aqui uma substituição simples resolve a integral porque vemos t\,dt multiplicando uma função de 9t^{2}+4. Então fazemos a substituição padrão para radicais do tipo \sqrt{a t^{2}+b}.

Passo 5

Substituição para calcular a integral:
  • Tome \;u=9t^{2}+4. Então diferenciando,
du=18t\;dt \quad\Rightarrow\quad t\;dt=\frac{du}{18}.
Limites em u:
  • Quando t=1, u=9\cdot1^{2}+4=13.
  • Quando t=3, u=9\cdot3^{2}+4=81+4=85.
Substituindo na integral:
\ell=\int_{1}^{3} t\sqrt{9t^{2}+4}\;dt=\int_{13}^{85}\sqrt{u}\;\frac{du}{18}=\frac{1}{18}\int_{13}^{85}u^{1/2}\;du.

Passo 6

Integrar u^{1/2}:
  • Regra do poder: \displaystyle\int u^{n}\;du=\frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1.
  • Aplicando com n=\tfrac{1}{2} obtemos antiderivada \displaystyle\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
    Assim
\frac{1}{18}\int_{13}^{85}u^{1/2}\;du=\frac{1}{18}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{13}^{85}.

Passo 7

Avaliar o valor numérico simbólico e simplificar constantes:
\ell=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\Bigl(85^{3/2}-13^{3/2}\Bigr).
Simplificando \frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{54}=\frac{1}{27} e usando que u^{3/2}=u\sqrt{u}, obtemos
\ell=\frac{1}{27}\bigl(85\sqrt{85}-13\sqrt{13}\bigr).
Podemos, se quiser, calcular uma aproximação numérica rápida para intuir o tamanho, mas a forma exata acima é a resposta normalmente pedida.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{27}\bigl(85\sqrt{85}-13\sqrt{13}\bigr)

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