Calcule o comprimento da curva definida pela função vetorial:
r(t)=[2 t-1] i+[t+1] j, 1 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva no plano dada por vec r(t)=(2t-1),vec i+(t+1),vec j no intervalo 1<= t<=2. O conteúdo envolvido é comprimento de curva (arco de curva paramétrica) e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^bllVertvec r,'(t)rrVert,dt
Para isso, precisamos achar a derivada do vetor posição e depois integrar sua norma.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada vec r,'(t). Como cada componente é uma função de t, temos
vec r(t)=(2t-1,,t+1)impliesvec r,'(t)=(2,,1)
Aqui usamos a regra básica de derivada de uma função linear.

Passo 3

Agora encontramos a norma de vec r,'(t)=(2,1). A norma de um vetor (x,y) é raizx^2+y^2. Logo,
llVertvec r,'(t)rrVert=raiz2^2+1^2=raiz4+1=raiz5
Observe que a norma saiu constante, o que simplifica a integral.

Passo 4

Por fim, aplicamos a fórmula do comprimento de curva substituindo a norma constante:
L=integral1^2raiz5,dt=raiz5integral1^2dt=raiz5,(2-1)=raiz5

Resposta

raiz5

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