Calcule o comprimento da curva definida pela função vetorial:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva no plano dada por no intervalo . O conteúdo envolvido é comprimento de curva (arco de curva paramétrica) e vamos precisar usar a fórmula
Para isso, precisamos achar a derivada do vetor posição e depois integrar sua norma.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada vec r,'(t). Como cada componente é uma função de t, temos
vec r(t)=(2t-1,,t+1)impliesvec r,'(t)=(2,,1)
Aqui usamos a regra básica de derivada de uma função linear.
Passo 3
Agora encontramos a norma de vec r,'(t)=(2,1). A norma de um vetor (x,y) é raizx^2+y^2. Logo,
llVertvec r,'(t)rrVert=raiz2^2+1^2=raiz4+1=raiz5
Observe que a norma saiu constante, o que simplifica a integral.
Passo 4
Por fim, aplicamos a fórmula do comprimento de curva substituindo a norma constante: